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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 4
Lição 5: Solução de problemas de taxas relacionadas- Introdução às taxas relacionadas
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Taxas relacionadas: balão
Neste exemplo, você analisará a altitude de um balão baseado no ângulo que você tem que girar seu pescoço para observá-lo. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA20C Neste problema,
nós temos um balão que está subindo com
uma certa velocidade. Ele está a uma determinada
altura do chão e, no chão, existe um observador
a 500 metros da altura vertical que toca o chão. Ele observa o balão... Vamos colocar aqui em outra cor. Ele observa o balão e,
por meio do instrumento, mede este ângulo. Inicialmente, este ângulo θ
é igual a π/4. Mas, por meio do instrumento
com o qual ele está medindo, ele consegue ver qual é
a variação desse ângulo. E a variação desse ângulo
está sendo de dθ/dt, de 0,2 radianos por minuto. Quando estamos estudando cálculo, normalmente, os ângulos
são dados em radianos, porque aí podemos integrar. Se nós colocarmos em graus, temos que transformar para radianos
para poder integrar. Então, temos a variação angular
aqui, pelo tempo, temos o ângulo inicial e temos a distância horizontal
da vertical do balão. O que nós queremos saber é a taxa de variação
da altura do balão, ou seja, o dh/dt. Essa é a nossa incógnita. Então, quais são as relações
que podemos obter? Nós temos a altura,
temos a distância horizontal, temos o ângulo e sabemos
que a tangente de θ é igual a cateto oposto
sobre cateto adjacente. O que nós podemos fazer
é derivar de ambos os lados, ou seja, d/dt de
ambos os lados, a taxa de variação em relação
ao tempo de ambos os lados. Deste lado de cá,
este 500 já pode sair de dentro da nossa derivada, ou seja, fica 1/500
vezes dh/dt, que é o que nós queremos. Agora, deste lado de cá, nós vamos utilizar
a regra da cadeia, ou seja, vamos derivar
a tangente em relação a θ e θ em relação ao tempo. Então, ficamos com a derivada
da tangente em relação a θ vezes a derivada de θ
em relação ao tempo, que é o que já temos também, é igual a 1/500 vezes
a derivada da altura em relação ao tempo,
que é o que queremos saber. A derivada da tangente é
a secante ao quadrado. Então, temos sec² de θ... Agora, que θ é esse? Este θ aqui não é o θ que
está se movimentando. Este θ é nosso θ inicial, é o nosso θ que é π/4. ...vezes dθ/dt, que é
0,2 radianos por minuto. Vamos não colocar as unidades. Depois, nós vamos saber que
a altura é dada em metros e a velocidade vai ser
em metros por minuto. Isso vai ser igual a
1/500 vezes dh/dt, que é o que queremos saber. Então, temos que dh/dt,
que é o que queremos saber, vai ser igual a 500 vezes sec² de π/4 vezes 0,2. Bem, mas quanto vale sec² de π/4? Nós sabemos que a secante
é o inverso do cosseno. O cosseno de π/4
é igual a √2 sobre 2. Então, o cos² de π/4 é igual a 2/4, que é igual a ½. Então, 1 sobre
cos² de π/4 vai ser igual a 2. E sabemos que a secante
é o inverso do cosseno, portanto, sec² de π/4 vai ser igual a 2. Então, voltando aqui
para o nosso dh/dt, nós temos que fazer
a seguinte conta: 500, que vai ser
essa distância horizontal, vezes sec² de π/4, que veio
da nossa derivada da tangente, que vai ser igual a 2, vezes 0,2, que é a nossa
variação angular dθ/dt. 0,2 vezes 2 = 0,4. 0,4 vezes 500 vai dar... dh/dt = 200 m/min. E terminamos!