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Taxas relacionadas: água despejada em um cone

Quando você derrama água em um cone, como a taxa de variação de profundidade se relaciona à taxa de variação do volume? Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Neste problema nós temos um copo em forma de cone e temos a razão pela qual ele está sendo enchido com água. A relação entre o volume e o tempo é de 1 centímetro cúbico por segundo. A relação entre o volume e a altura é que o volume é ⅓ da área da base vezes a altura, e isso nós podemos determinar por cálculo, mas não é a razão do nosso problema. O que nós queremos saber é, quando ele está em uma determinada altura h, qual é a razão dh/dt que ele está subindo, ou seja, o quanto ele está subindo na altura em relação ao tempo? Já vemos que vamos utilizar a regra da cadeia. Verificamos também que o diâmetro da área da superfície é igual à altura, portanto esse diâmetro da superfície em um instante de dois centímetros é igual à altura. Portanto nós temos que o volume é ⅓ da área da base, e a área da base vai ser π vezes r, que é (h sobre 2)², vezes a altura. Então o volume vai ficar sendo ⅓ de (π sobre 4) vezes h² vezes h, que vai ser h³. Nós temos que o volume é igual a (π sobre 12) vezes h³. É interessante notar que tudo está em função do tempo, ou seja, o volume está em função do tempo e nós temos também que a altura está em função do tempo. Então vamos derivar pela regra da cadeia dos dois lados em função do tempo. Nós já temos dv/dt. dv/dt foi dado, que é 1. Agora, desse lado, nós vamos ter (π sobre 12) vezes (dh³(t) sobre dh) vezes dh/dt. Derivando nós vamos ter que 1 vai ser igual a (π sobre 12) vezes 3 vezes h² vezes dh/dt. Então na altura, na hora em que ele está em 2 centímetros, nós vamos ter que 1 é igual a (π sobre 12) vezes 3 vezes 2², que é 4, vezes dh/dt. Então nós temos 12, que cortamos com esse 12, e vamos ter 1 igual a π vezes dh/dt. Então a variação da altura em relação ao tempo nesse instante, ou seja, dh/dt nesse instante vai ser 1 sobre π. E qual é a dimensão? A dimensão vai ser de centímetro por segundo. Nós utilizamos a regra da cadeia aqui. É importante notar que a altura está subindo em relação ao tempo, por isso que nós podemos utilizar a regra da cadeia. Nós fizemos (d(h)³ sobre dh) vezes dh/dt. Essa é a regra da cadeia e nós sabemos qual é o h nesse instante t em particular, que é 2 centímetros. Essa taxa de variação da altura em relação ao tempo é exatamente nesse instante, portanto conseguimos relacionar a variação do volume pelo tempo com a variação da altura pelo tempo para um determinado instante quando a altura é de dois centímetros.