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Conteúdo principal
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Transcrição de vídeo

vamos dizer que estamos observando aqui uma noite e que nós temos uma coruja procurando a sua presa então aqui nós temos uma coruja e que a observar um rato aqui em baixo ela vai decidir é tamente pra pegar esse rápido e que os dois estão próximos a um poste então para entender bem o que está acontecendo vamos dizer que esse poste que tenha oito metros de altura a gente tem um poste com 8 metros e que essa coruja se encontra a uma distância de seis metros desse rápido e que o rato se encontra uma distância igual a quatro metros da base desse poste essa coruja está voando diretamente para baixo ou seja ela não está indo para a direita nem esquerda ela tá indo diretamente para baixo com uma velocidade igual a 8 metros por segundo então vamos colocar isso aqui a coruja está indo para baixo com uma velocidade igual a 8 metros por segundo observando tudo que está acontecendo estou interessado em conhecer alguns detalhes a respeito da sombra formada que por essa coruja e uma coisa interessante sobre essa sombra é que à medida que a coruja desce pra pegar um rato essa sombra vai se movimentando aqui para a esquerda então a minha pergunta para você nesse vídeo é justamente essa qual é a taxa de variação das sombras gerada pela coruja no decorrer do tempo observando tudo que nós temos aqui a gente pode definir algumas variáveis e para definir tudo isso eu vou fazer um desenho mais limpo aqui desse lado então aqui nós temos o poste em que esse poste tem uma altura igual a oito metros aqui nós temos a coruja ou seja todo o caminho que a coruja vai fazer até o chão e isso daqui tem uma distância uma altura igual a seis metros não podemos esquecer que a distância da base do poste até o rato é igual a quatro metros como estamos interessado em conhecer detalhes a respeito dessa sombra a gente precisa saber exatamente onde essa sombra vai estar pela física sabemos que ele se propague nem a reta certo então a luz que vai ser metida por ela a lâmpada aqui no poste vai vir em linha reta e vai ser bloqueada pela coruja conseqüentemente a sombra criada por essa coruja vai ser uma projeção dessa reta por onde a luz deveria passar então nós vamos ter uma reta que vai sair dessa lâmpada aqui e vai passar pela coruja até atingir o chão então vamos ter algo mais ou menos parecido com isso aqui vai minha luz vai passar pela coruja e vai vim até atingir o chão e nós precisamos calcular o quão rápido essa sombra que está vindo para a esquerda uma forma de fazer isso é definir algumas variáveis para a gente conseguir relacioná las e encontrar essa taxa de variação da posição da sombra gerada pela coruja no decorrer do tempo então pra fazer isso eu vou chamar essa altura que da coruja que inicialmente é 6 de ys uma variável y ea posição da sombra em relação ao rato de x o que nós vamos fazer relacionar essas variáveis para encontrar o que nós queremos que a variação da posição x ou seja da posição da sombra em relação ao rato no decorrer do tempo então essa é a nossa pergunta que vem nós já conhecemos o y certo e também podemos determinar de uma certa forma o de y de t afinal a gente já conhece a velocidade com uma cola coruja está indo para baixo certo então a partir dessa variação de y no decorrer do tempo nós vamos tentar relacionar esse y con x pra encontrar a taxa de variação do x no decorrer do tempo então nós precisamos relacionar essas variáveis mas uma notícia boa é que nós temos dois triângulos aqui mas como se dois triângulos só estou vendo um sim nós temos dois se a gente considerar que um triângulo menor e aqui um triângulo maior então para diferenciar bem eu vou colocar esse triângulo menor que de verde e esse outro triângulo que o maior de azul e uma coisa interessante a respeito desses triângulos é que eles são semelhantes e como é que sabemos que eles são semelhantes bem são dois triângulos reto e certo então é que a gente tem um ângulo de 90 graus aqui também os dois triângulos tem esse mesmo os ângulos quando nós temos dois triângulos com dois ambos iguais o terceiro ângulo de cada triângulo também vai ser igual ao outro e aí quando nós temos todos os ângulos iguais a gente vai ter triângulos semelhantes e uma coisa a respeito dos triângulos semelhantes que é muito interessante é que a razão entre as bases desses triângulos e as alturas desses triângulos são iguais então a gente pode partir dessa idéia para criar relação entre essas variáveis então vamos lá vamos fazer isso daqui para o triângulo menor a gente tem que a base é x então a gente vai colocar a razão entre a base x e à altura desse triângulo que é y para o triângulo maior a nossa base vai ser 4 + x a gente tem quatro mas x sobre a altura que é igual a oito então a gente tem que as razões entre a base ea altura de cada um dos triângulos são iguais para facilitar um pouco isso a gente pode multiplicar cruzado multiplicando esse lado aqui pô 8 y e esse outro lado também aqui por oito y gente tem aqui x sobre y e aqui a gente tem 4 x sobre oito isso é muito interessante porque a gente consegue eliminar esse y com esse y e esse 8 com esse 8 assim desse lado esquerdo a gente vai ter aqui 8 x e do lado direito a gente vai aplicar a propriedade distributiva e vamos ter quatro e y mais x e y como nosso objetivo é calcular a taxa de variação temporal nós podemos de levar tudo isso em relação ao tempo então vamos lá vamos levar essa parte que 8 x em relação ao tempo pela propriedade da derivada quando a gente tem uma constante multiplicando uma variável a gente pode jogar essa constante para fora derivada e de levar apenas a variável então a gente vai ter aqui oito vezes a derivada de x em relação ao tempo e aqui a gente vai ter a mesma coisa mas deixou uma outra coisa que a gente vai ter quatro vezes a derivada de y em relação ao tempo mas vem aqui já vai dar um pouco mais de trabalho porque a gente tem duas variáveis então a gente vai precisar aplicar a regra do produto e essa regra diz o seguinte que a gente vai precisar de levar a primeira variável vezes a segunda variável mas a primeira variável vezes a derivada da segunda variável então vamos fazer isso daqui a gente vai te deixes de t que é derivada de x em relação ao tempo vezes y mais x que a segunda variável vezes a derivada de y em relação ao tempo então já levamos essa expressão aqui em relação ao tempo e aí podemos ver o que nós já temos aqui como informação tem 8 uma constante beleza nosso objetivo é encontrar dx de t que é a taxa de avaliação de x em relação ao tempo de y de ter nós já temos aqui certo que a 8 metros por segundo daqui a gente já tem deixei de te nós não temos mas depois a gente pode trazer pra cá caiu zola isso para encontrar o que a gente quer o y que corresponde a esse valor inicial que seis nós também já temos o x infelizmente a gente não tem o de y de t como eu já falei a gente tem então o que a gente precisa fazer aqui agora encontrar esse xis e pra encontrar esse xis a gente consegue voltar nessa expressão aqui e substituir os valores que foram informados para encontrar o valor de x então vamos fazer isso aqui do lado vamos lá a gente já tem alguns dados iniciais aqui que é y ea gente quer o valor de x certo então vamos lá vamos pegar essa parte aqui 8 x é igual a quatro vezes e yy é igual a 6 mais x vezes y é igual a 6 assim a gente vai ter 8 x que é igual a quatro vezes 6 4 16 e 24 mais x vezes 6 ea 6 x vem trabalhando e se 8x e esse sim x aqui a gente tem algo igual a 2 x então 2x vai ser igual a 24 ou seja os x é igual a 24 / 2 e é igual a 12 então x corresponde a 12 metros então essa sombra que da coruja está inicialmente uma distância igual a 12 metros desse rato então agora que a gente já encontrou o valor de x inicial ou seja o valor de x nesse momento a gente consegue determinar a velocidade com a qual essa sombra está indo para a esquerda ou seja taxa de variação temporal de x então vamos lá para fazer isso basta a gente substituir os dados que a gente já tem aqui no problema então substituindo essas informações inicialmente a gente vai ter oito vezes de x dt que afinal de contas é o que nós estamos querendo determinar isso sendo igual a quatro vezes de y dt certo o de y de ter corresponde à taxa de variação do índice em relação ao tempo que é a velocidade com a qual a coluna está indo para baixo no entanto é que eu mostrei pra você o módulo dessa velocidade como a coruja está indo para baixo ela está contra um sistema de orientação que nesse caso é o y então a taxa de variação de y no decorrer do tempo vai ser igual a menos 8 metros por segundo ou seja tem um valor negativo se a coruja estivesse subindo seria um valor positivo mas como a coruja está descendo se aproximando do rato nós temos um valor negativo então quatro vezes menos oito mais novamente deixes dt que a gente não conhece vezes yy a gente conhece y aqui nesse caso é esse valor inicial que tem seis metros então y é igual a 6 mais x que a gente acabou de calcular aqui que é igual a 12 metros o xis corresponde a esse valor inicial ou se já posição em que a sombra está inicialmente então nós vamos ter x sendo igual a doze vezes de y de ter que a gente já sabe a bic é igual a menos oito ok nosso trabalho agora é apenas algébrico a gente calcula a esses valores aqui e isolar sdx dt quatro vezes menos 8 vai ser igual a menos 32 e 12 vezes menos 8 é igual a menos 96 - 32 - 96 é igual a menos 128 e para resolver se de she's a gente precisa e isolá ele então a gente vai subtrair com 6 de seu lado e desse lado da igualdade assim a gente vai ter 8 -6 de x de t e aqui a gente vai anular essa parte 8 -6 dx de t é igual a dois de x de t&d selado a gente vai ter apenas menos 128 se a gente quer saber o dx de t basta dividir por dois agora dividir os dois lados da igualdade por dois e nem menos 128 dividido por dois é igual a menos 64 metros por segundo e isso corresponde à taxa de variação da posição da sombra da coruja no decorrer do tempo eo interessante é que tem o sinal negativo é que esse sinal negativo significa que a sombra está se aproximando do rato ou seja está indo para a esquerda e não se afastando como você pode perceber esse valor é muito alto também certo tem que ser mais rápido do que a velocidade da coruja porque à medida que a coruja se aproxima e do rato esse triângulo vai ficando cada vez menor menor e menor muito mais rápido do que a velocidade da coruja então todas as vezes que você tiver um problema semelhante com esse você precisa criar uma relação entre as variáveis e fazer derivada em relação ao tempo assim você vai conseguir determinar a taxa de variação de uma das duas ou três variáveis no decorrer do tempo esse caso que foi da posição x no decorrer do tempo enfim eu espero que você tenha gostado desse vídeo e até a próxima
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