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Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vindo a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre a relação entre linearidade local em um ponto EA diferenciabilidade nesse ponto mas o que é linearidade local bem se a gente tiver uma função e deram junto suficientemente grande em um determinado local em um ponto mesmo que a função não seja linear mais seja diferenciável nesse ponto nós vamos observar algo que vai aparentar se e linear Deixa eu te mostrar alguns exemplos aqui disso vamos dizer que temos uma função em que y = x ao quadrado bem claramente isso não é uma função linear mais ampliando aqui uma região em um ponto a gente ampliar aqui de forma suficientemente grande veremos algo que se parece quase linear vamos dizer que a gente queira ampliar o ponto 1,1 Então vamos fazer isso aqui e não ampliando o ponto 1,1 teremos algo aproximadamente linear nesse ponto essa propriedade de linearidade local é muito útil ao tentar aproximar uma função em torno de um ponto por exemplo nós poderíamos pegar a derivada que no ponto 1 não se esqueça que a derivada é inclinação da reta tangente em um ponto da função aí com essa inclinação podemos encontrar a equação da reta tangente e usar essa equação para aproximar valores da nossa função em torno de x igual a um Claro você pode não precisar fazer isso para Y igual a x ao quadrado mas pode ser muito útil para uma função mais complexa Enfim meu amigo minha amiga é grande lição aqui é que no ponto 1,1 temos essa ideia que de linearidade local agora vamos ver outro exemplo de um ponto em que uma função Não seja diferenciável nesse ponto e que também não vamos ver a linearidade local por exemplo vamos observar o valor absoluto de o módulo de X eu acho que é melhor mudar um pouco isso aqui né Vamos então observar o valor absoluto de x menos 1 assim vai ficar um pouco melhor bem essa função diferenciável conta onde o que a gente não esteja aqui nessa extremidade nesse ponto em 1,0 para qualquer outro valor de X a função é diferenciável mais em relação a x = 1 a gente já conversou em outros vídeos o porquê dessa função não ser diferenciável nesse ponto bem também podemos usar a ideia de linearidade local para observar esse ponto a um detalhe o que vamos fazer não é uma regra matemática rigorosa mas apenas uma ideia para te dar um pouco de intuição sobre linearidade local bem Observe aqui que não importa o quanto a gente amplie a gente continua havendo essa curva acentuada seria difícil construir uma única reta tangente que passa por esse ponto 1,0 Na verdade eu posso construir o número infinito de reta acho que vai passar por é mas que não passa pelo resto da curva então Observe onde quer que você veja sempre teremos essa aparência no ponto 1,0 nessa função aqui de valor absoluto e sua indicação muito boa de que essa função Não É diferenciável nesse ponto Agora vamos diminuir aqui um pouco Zoom e vamos pegar outra função vamos observar uma função onde a diferença habilidade ou a falta de diferenciabilidade Não é por causa de uma extremidade como no caso da função anterior Marcinho Porque conforme aumentamos aqui o zoom ela vai começar a se parecer com uma reta vertical um bom exemplo disso é a raiz quadrada de 4 menos x ao quadrado bem essa daqui é a metade superior de um circulo de Raio 2 e vamos nos concentrar aqui no ponto 2,0 porque bem nesse ponto não somos diferenciáveis isso a gente ampliar aqui o suficiente percebemos que em 2,0 e teremos algo que se aproxima de uma reta vertical bem como já falei com você a sua função não é diferenciável no ponto 2,0 agora outra coisa que eu quero destacar é que a gente não precisou aumentar muito para perceber que temos essa extremidade nessa função de valor absoluto ou que temos algo que se assemelha a uma reta vertical aqui em 2,0 E em menos 2,0 conforme vimos algo estranho está acontecendo nesses pontos logo é possível que as funções não sejam diferenciáveis nesses pontos mas existem algumas funções que normalmente não vemos em um curso de álgebra Ou de pré-cálculo ou até mesmo em cálculo Essas funções tem algo que aparentemente de uma perspectiva reduzida tem um vértice como no caso da função de valor absoluto mas aí ao aproximar mais e mais veremos que temos uma linearidade local e que além disso a função É diferenciável nesse ponto Um Bom exemplo disso é bem vamos nos livrar dessas coisas aqui para deixar a nossa tela um pouquinho mais limpa vamos dizer que Y seja igual a x elevado a eu vou colocar um expoente grande aqui eu vou colocar 10 no expoente Então temos X elevado à décima potência a gente começa a perceber a formação de um vértice aqui bem acentuado na verdade temos: aí ao colocar X elevado a centésima potência Parece que agora temos um vértice bem mais acentuado aí se a gente colocar X elevado a milésima potência tem isso pode ser uma boa medida aí nessa escala parece que temos um vértice muito acentuado aqui no ponto 1,0 um detalhe interessante é que essa curva não vai diretamente é o ponto 1,06 x por um à medida que a gente amplia mais e mais a gente vai perceber algo Curvo Isso é ótimo porque essa função é realmente diferenciável em todos os o x o que a gente tá vendo aqui é um pouco exótico mas conforme a gente aumentos um Nós realmente queremos isso vamos ampliar a que mais e mais esse vértice Parece ser bem acentuado mas se a gente aqui deram um suficiente mesmo nessa parte que parece ser bem difícil ou seja bem acentuado aqui a gente começa a perceber que o verdadeiro vértice é Curvo aí a medida que a gente aumenta mais e mais um aparentemente teremos algo que se parece com uma reta é difícil de acreditar nisso quando a gente diminui o zoom porque realmente esse vértice parecia com maquininha na algo bem acentuado e aí conforme a gente aumenta o zoom vemos mais uma vez essa linearidade local como uma reta não vertical enfim em qualquer ponto dessa curva a gente vai ter uma função diferenciável bem meu amigo minha amiga A questão aqui é que às vezes você pode precisar aumentar muitos um ou seja ampliar bastante é uma ferramenta como essa que eu estou usando agora é muito útil para fazer isso e claro não estamos usando uma matemática muito rigorosa aqui mas eu só pode te dar uma leve a intuição de que se você aumentar o suficiente você começa a ver uma curva se parecendo mais e mais com uma reta Isso é uma boa indicação de que a função é diferenciável se você continuar aumentando Jung ainda se parecer com o vértice bem duro aqui sem apresentar uma curvatura ou se você é ampliar e tiver uma reta aqui que aparentemente apresenta uma reta vertical aí teremos alguns problemas e O legal é que agora você já pode começar a pensar e se questionar sobre esses problemas Enfim meu amigo minha amiga eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima
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