Linearidade local e diferenciabilidade

RKA8JV - Olá meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a relação entre linearidade local em um ponto e a diferenciabilidade nesse ponto. Mas o que é linearidade local? Bem, se a gente tiver uma função e der um zoom suficientemente grande em um determinado local, em um ponto, mesmo que a função não seja linear, mas seja diferenciável nesse ponto, nós vamos observar algo que vai aparentar ser linear. Deixa eu te mostrar alguns exemplos aqui disso. Vamos dizer que temos uma função em que y = x². Bem, claramente isto não é uma função linear, mas, ampliando aqui uma região em um ponto, se a gente ampliar aqui de forma suficientemente grande, veremos algo que se parece quase linear. Vamos dizer que a gente queira ampliar o ponto (1, 1). Então, vamos fazer isso aqui. Então, ampliando o ponto (1, 1), teremos algo aproximadamente linear neste ponto. Essa propriedade de linearidade local é muito útil ao tentar aproximar uma função em torno de um ponto. Por exemplo, nós poderíamos pegar a derivada aqui no ponto 1, não se esqueça que a derivada é a inclinação da reta tangente em um ponto da função. Aí, com essa inclinação podemos encontrar a equação da reta tangente e usar essa equação para aproximar valores da nossa função em torno de "x = 1". Claro, você pode não precisar fazer isso para y = x², mas pode ser muito útil para uma função mais complexa. Enfim, meu amigo ou minha amiga, a grande lição aqui é que no ponto (1, 1), temos essa ideia de linearidade local. Agora, vamos ver outro exemplo, de um ponto em que uma função não seja diferenciável nesse ponto, e que também não vamos ver a linearidade local. Por exemplo vamos observar o valor absoluto de "x", o módulo de "x". Eu acho que é melhor mudar um pouco isto aqui. Vamos, então, observar o valor absoluto de "x - 1", assim vai ficar um pouco melhor. Bem, esta função é diferenciável, contando que a gente não esteja aqui nesta extremidade, neste ponto em (1, 0). Para qualquer outro valor de "x", a função é diferenciável. Mas, em relação a "x = 1", a gente já conversou em outros vídeos o porquê dessa função não ser diferenciável neste ponto. Bem, também podemos usar a ideia de linearidade local para observar este ponto. Ah, um detalhe. O que vamos fazer não é uma regra matemática rigorosa, mas apenas uma ideia para te dar um pouco de intuição sobre linearidade local. Bem, observe aqui que não importa o quanto a gente amplie, a gente continua vendo esta curva acentuada. Seria difícil construir uma única reta tangente que passa por este ponto (1, 0). Na verdade, eu posso construir um número infinito de retas que vai passar por (1, 0), mas que não passa pelo resto da curva. Então observe, onde quer que você veja, sempre teremos esta aparência no ponto (1, 0) nesta função aqui de valor absoluto. Isso é uma indicação muito boa de que essa função não é diferenciável nesse ponto. Agora, vamos diminuir aqui um pouco o zoom e vamos pegar outra função. Vamos observar uma função onde a diferenciabilidade ou a falta de diferenciabilidade não é por causa de uma extremidade como no caso da função anterior, mas sim porque conforme aumentamos aqui o zoom, ela vai começar a se parecer com uma reta vertical. Um bom exemplo disso é a raiz quadrada de 4 - x². Bem, esta daqui é a metade superior de um circulo de raio 2. Vamos nos concentrar aqui no ponto (2, 0), porque, bem, neste ponto não somos diferenciáveis. Se a gente ampliar aqui o suficiente, percebemos que em (2, 0) teremos algo que se aproxima de uma reta vertical. Bem, como já falei com você, essa função não é diferenciável no ponto (2, 0). Agora, outra coisa que eu quero destacar é que a gente não precisou aumentar muito para perceber que temos esta extremidade nesta função de valor absoluto, ou que temos algo que se assemelha a uma reta vertical aqui em (2, 0) e em (-2, 0). Conforme vimos, algo estranho está acontecendo nesses pontos, logo, é possível que as funções não sejam diferenciáveis nesses pontos. Mas existem algumas funções que normalmente não vemos em um curso de álgebra ou de pré-cálculo, ou até mesmo em cálculo. Essas funções têm algo que, aparentemente, de uma perspectiva reduzida, têm um vértice como no caso da função de valor absoluto. Mas aí, ao aproximar mais e mais, veremos que temos uma linearidade local, e que, além disso, a função é diferenciável nesse ponto. Um bom exemplo disso é: bem, vamos nos livrar dessas coisas aqui para deixar a nossa tela um pouquinho mais limpa. Vamos dizer que "y" seja igual a "x" elevado a, eu vou colocar um expoente grande aqui, eu vou colocar 10 no expoente. Então, temos x¹⁰. A gente começa a perceber a formação de um vértice aqui bem acentuado. Na verdade temos dois pontos. Aí, ao colocar x¹⁰⁰ , parece que agora temos um vértice bem mais acentuado. Aí, se a gente colocar x¹⁰⁰⁰, bem, isso pode ser uma boa medida. Aí nessa escala, parece que temos um vértice muito acentuado aqui no ponto (1, 0). Um detalhe interessante é que essa curva não vai diretamente ao ponto (1, 0). Se "x" for 1, à medida que a gente amplia mais e mais, a gente vai perceber algo curvo. Isso é ótimo, porque esta função é realmente diferenciável em todos os valores de "x". O que a gente está vendo aqui é pouco exótico, mas conforme a gente aumenta o zoom, nós realmente veremos isso. Vamos ampliar aqui mais e mais. Este vértice parece ser bem acentuado, mas se a gente der um zoom o suficiente, mesmo nesta parte que parece ser bem difícil, ou seja, bem acentuado aqui, a gente começa a perceber que o verdadeiro vértice é curvo. Aí, a medida que a gente aumenta mais e mais o zoom, aparentemente teremos algo que se parece com uma reta. É difícil de acreditar nisso quando a gente diminui o zoom, porque realmente este vértice se parecia com quina, algo bem acentuado. E aí, conforme a gente aumenta o zoom, vemos mais uma vez essa linearidade local, como uma reta não vertical. Enfim, em qualquer ponto desta curva, a gente vai ter uma função diferenciável. Bem, meu amigo ou minha amiga, a questão aqui é que às vezes você pode precisar aumentar muito o zoom, ou seja, ampliar bastante. E uma ferramenta como essa que eu estou usando agora é muito útil para fazer isso. E claro, não estamos usando uma matemática muito rigorosa aqui, mas isso pode te dar uma leve a intuição de que se você aumentar o zoom o suficiente, você começa a ver uma curva se parecendo mais e mais com uma reta. Isso é uma indicação de que a função é diferenciável. Se você continuar aumentando o zoom e ainda se parecer com um vértice bem duro aqui, sem apresentar uma curvatura, ou se você ampliar e tiver uma reta que aparentemente apresenta uma reta vertical, aí teremos alguns problemas. O legal é que, agora, você já pode começar a pensar e se questionar sobre esses problemas. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!