Linearidade local

RKA8JV - Neste vídeo, vamos estudar um caso de aproximação linear ou aproximação pela reta tangente, também chamado de linearização. Vamos supor que você queira tirar a raiz quadrada de 4,36. Você não sabe a esquadra de 4,36, mas você sabe a raiz quadrada de 4, você sabe que √4 é 2. E você sabe que √4,36 está próximo de 2, pois 4,36 é um valor próximo de 4. Como é que nós podemos fazer uma estimativa do valor que esta raiz possui se não tivermos uma calculadora, obviamente? Vamos transformar primeiro em uma função, f(x) = √x, ou seja, √x sendo uma função x¹/², é esta função. Colocando aqui no gráfico, podemos ter uma ideia de como é que está se comportando a função. Nós temos o eixo da ordenada e temos o eixo da abscissa. Por uma questão apenas didática, vamos colocar o 4 aqui e o ponto que queremos saber, 4,36, aqui. O 4 vai levar a 2. Obviamente está fora de escala. 4,36 vai levar a um valor que é o que nós queremos. Este é o valor real. Mas como é que nós podemos calcular esse valor apenas utilizando derivada? Nós podemos, no ponto 4, pegar a reta tangente ao ponto 4, pois temos como calcular a inclinação desta reta tangente, pois aqui é o f'(4), ou seja, a derivada no ponto 4 vai dar a inclinação desta reta. E aí, vamos, a partir do ponto 4,36, pegar um ponto estimado aqui, e esse ponto estimado vai nos dar um valor próximo do valor real. Esse valor, vamos chamar de função linear no ponto 4,36. Como é que nós escreveríamos essa função? Vamos chamar L(x), vamos generalizar, L(x) seria igual a um valor conhecido, ou seja, o f(4), que dá 2, então vamos chamar f(a), onde "a" é um valor conhecido, mais esta distância daqui para cá, vamos chamar de Δy. Quem é esta distância daqui para cá? Vamos chamar isto aqui de Δx. Vai ser a inclinação da reta, f'(4), no caso aqui, vezes o meu Δx. O 2 que é o meu f(a) do ponto conhecido, mais a inclinação da linha no ponto conhecido "a" vezes o Δx, o que é o Δx? É o valor que eu quero, que eu estou chamando de "x", menos o valor que estou chamando de "a", que é o valor conhecido, ou seja, "x - a". Então agora podemos calcular. Primeiro, vamos tirar a derivada. A derivada da função f(x) fica sendo f'(x) = 1/2(x⁻¹/²). Então, quem vai ser nosso f'(4)? Nosso f'(4) vai ficar 1/2 vezes 4⁻¹/². -1/2 é um expoente negativo, 4, vai ficar 1 sobre 4⁻¹/², que dá 1/√4, que é 2, 1/2 vezes 1/2, aqui vai ser 1/4, é a nossa inclinação. Então, substituindo os valores para o nosso valor que queremos, que é o L(4,36), nós vamos obter o f(4) mais a inclinação é f' no ponto 4 vezes 4,36 - 4. Então agora vamos calcular, lembrando que a nossa função é uma estimativa e vai dar uma estimativa de √4,36, pois nós definimos esta função como sendo a função da aproximação linear, ou da aproximação pela reta tangente. Então, ficamos com 4,36 = f(4), nós sabemos que é 2, mais, a inclinação nós sabemos que é 1/4 vezes, 4,36 menos 4, dá 0,36. Esta conta vai nos dar 2,09. Ou seja, isso quer dizer que, pela aproximação linear, ou pela aproximação da reta tangente, a √4,36 é aproximadamente 2,09. É importante notar que este valor está superestimado, ele é maior do que o valor real, a reta tangente corta por cima enquanto a concavidade desta curva, que está em laranja, que é a real, vem por baixo, ou seja, o valor real é um pouco inferior ao valor estimado. Então ele está superestimado. Senão, vejamos na calculadora quanto é o valor de √4,36. 2,0881. Ou seja, o nosso valor, que queremos real seria 2,0881 mais alguma coisa, obviamente, mas aqui a gente está pegando só 4 casas decimais. Para 2 casas decimais, essa é uma aproximação muito boa. Então, vimos que, por aproximação linear ou aproximação pela reta tangente, nós podemos criar uma função onde nós pegamos a função em um ponto conhecido, somamos com a derivada deste ponto conhecido e multiplicamos pela distância do ponto que queremos ao ponto conhecido e assim, temos uma estimativa do valor que queremos determinar.