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Regra de L'Hôpital: exemplo de limite no infinito

Neste vídeo, usamos a Regra de L'Hôpital para encontrar o limite de (4x²-5x)/(1-3x²) no infinito. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA1JV - Olá! Neste vídeo, nós vamos utilizar a regra de L'Hôpital para conseguir calcular o limite de uma função. Nesse caso, nós vamos calcular o limite com o "x" tendendo ao infinito da função 4x² - 5x sobre 1 - 3x². Bem, neste caso aqui, para a gente calcular o limite dessa função com "x" tendendo ao infinito, a gente pode ter alguns problemas. Principalmente, porque o infinito não é um número, por não ser um número, a gente não pode substituir direto aqui o infinito e sair calculando como se fosse um outro limite qualquer. Mas, se por acaso, a gente substituísse o infinito. o que nós iríamos encontrar? Primeiro que a gente não pode substituir aqui pelo infinito. Mas se a gente substituísse por um número muito, muito, muito grande, a gente teria uma noção, pelo menos uma leve noção, de para onde essa função está tendendo quando "x" tendo ao infinito. Por exemplo, vamos supor que a gente coloque um número muito grande aqui. Obviamente, como esse "x" está elevado ao quadrado, à medida que eu colocar valores cada vez maiores aqui, esse número aqui sempre vai ser bem maior que esse outro aqui. A gente vai ter um número muito, muito, muito grande menos um número grande, mas não tão grande quanto esse. Isso significa que à medida que o "x" for aumentando, esse número vai se tornando cada vez maior, e positivo. A gente teria uma função tendendo ao infinito positivo aqui no numerador. A gente poderia fazer o mesmo aqui no denominador, por exemplo, à medida que o "x" for ficando cada vez maior, a gente sempre vai ter o 1 menos um número muito grande. Para "x" muito grande, a gente vai ter um número negativo aqui embaixo. À medida que o "x" vai ficando cada vez maior, a gente vai ter um número cada vez mais negativo aqui embaixo. Isso significa que a função do denominador vai estar tendendo para o menos infinito. E a gente não pode ter infinito dividido por infinito, ou infinito dividido por menos infinito. Isso acaba gerando uma indeterminação, isso é uma indeterminação. Eu não posso ter um número infinito dividido por um número infinito porque eu não faço ideia de quanto que vai ser esse resultado. Isso é algo indeterminado. Todas as vezes que a gente tem um número indeterminado aqui nesse limite, a gente pode utilizar uma regra chamada regra de L'Hôpital. Com essa regra de L'Hôpital, a gente consegue calcular o limite dessa função. Vamos utilizar a regra de L'Hôpital para para calcular esse limite. Esse limite vai ser igual ao limite com "x' tendendo ao infinito de quê? A regra do L'Hôpital consiste em todas as vezes que a gente tiver uma indeterminação, a gente consegue calcular o limite derivando a função. A gente pode derivar o numerador e derivar o denominador. Derivando o numerador, a gente vai ter 8x menos 5, isso dividido por -6x. Como você pode perceber aqui, a gente ainda vai continuar tendo uma indeterminação. De qualquer forma, a nossa função aqui continua indo para o infinito aqui no numerador e indo para o menos infinito aqui no denominador. Se a gente continua tendo uma indeterminação, a gente pode utilizar a regra de L'Hôpital novamente. Derivando o numerador e o denominador. Então a gente vai ter o limite com "x" tendendo ao infinito, a derivada de 8x - 5 vai ser igual a 8 e a derivada de -6x é igual a -6. Não tenho mais nenhum "x" aqui. Se a gente for substituir o "x" que não existe por infinito, a gente vai ter esse resultado. Então, o limite com "x" tendendo ao infinito de 8 sobre -6 vai ser igual a -8 dividido por 6. -8 dividido por 6, simplificando um pouco isso aqui, a gente vai poder dividir por 2 aqui e por 2 aqui e vai ter algo igual a -4 dividido por 3. O limite da nossa função com "x" tendendo ao infinito vai ser algo igual a -4 dividido por 3. Conseguimos calcular esse limite utilizando a regra de L'Hôpital. Mas você vai falar assim para mim agora: olhe só, professor, eu poderia calcular esse limite aqui sem usar a regra de L'Hôpital. De fato, você pode fazer isso, mas eu quis apenas mostrar pra você que existe uma outra forma, quando a gente tiver uma indeterminação, que é essa regra de L'Hôpital. Mas vamos supor que você queira calcular esse limite aqui sem usar a regra de L'Hôpital. O que você poderia fazer? A gente vai calcular o limite com o "x" tendendo ao infinito de 4x² menos 5x sobre 1 menos 3x². Se você quisesse calcular o limite aqui, a gente poderia colocar o x² em evidência por exemplo. Assim, a gente teria o limite com "x" tendendo ao infinito de x², colocando um x² em evidência, a gente vai 4 menos 5 sobre "x", sobre x² vezes 1 sobre x² menos 3. Agora a gente pode perceber que temos aqui um x² no numerador e um x² no denominador. Nós podemos cancelar um com o outro. Cancelando eles dois, vai sobrar apenas, isso aqui é igual ao limite com "x" tendendo ao infinito de 4 menos 5 sobre "x", sobre 1 sobre x² menos 3. Agora, a gente pode calcular o limite, porque se eu tenho limite de um número sobre "x" com "x" tendendo ao infinito, a gente vai ter um número dividido por um número muito grande. Sendo assim a gente vai ter algo que vai tender a zero. Isso aqui vai tender a zero, e o mesmo se aplica aqui nesse 1 sobre x². A gente vai ter 1 sobre um número muito grande quando "x" tende ao infinito. E 1 dividido por número muito grande é algo muito próximo a zero. Isso daqui vai tender para zero. Sobrando apenas aqui para a gente o 4 dividido por -3 que é igual a -4 sobre 3, que tem o mesmo resultado, ou seja, é o mesmo valor daquilo que a gente calculou anteriormente utilizando a regra de L'Hôpital. Qualquer uma das duas formas é interessante e podem ser feitas para calcular esse limite. No entanto, existem casos em que é muito mais fácil utilizar a regra de L'Hôpital. Para utilizar a regra de L'Hôpital, a gente precisa de uma indeterminação. A gente deriva que o numerador, e deriva o denominador até a gente encontrar algo que a gente possa calcular o limite. Que, nesse caso, chegaremos ao mesmo resultado daquilo que a gente teria chegado sem usar a regra de L'Hôpital.