Conteúdo principal
Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 4
Lição 8: Vídeos opcionaisDemonstração do caso especial da regra de L'Hôpital
Esta não é uma prova completa da regra de L'Hopital, mas dará uma intuição de porque ela funciona. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula nós vamos provar
a regra de L'Hôpital, só que vamos provar
para um caso especial e isso vai nos dar a intuição da
razão do porquê a regra funciona. Esse caso especial é quando
f(a) é igual a zero e a derivada em
x igual a “a” existe. Além disso, g(a) é igual a zero
e a derivada de g em “a” existe. Se essas restrições
são atendidas, então o limite quando
x tende a “a” de f(x) sobre g(x) é igual à derivada de f em “a”
sobre a derivada de g em “a”, ou seja, esse é o caso no qual
nós vamos ter f(a), que é igual a zero, sobre g(a), que é igual a zero,
o que vai causar uma indeterminação. Quando isso acontece, nós pegamos
a derivada da função f em “a” e dividimos pela
derivada da função g em “a”. Esse é um caso particular, um caso especial,
mas é algo bem próximo do geral. Para provar isso, nós vamos resolver isso
utilizando a definição de derivada e vamos ver que o resultado
disso vai ser esse lado esquerdo. Então deixe-me colocar isso aqui.
A derivada de f(a) é igual a quê? Por definição, nós sabemos que isso
é igual ao limite quando x tende a “a” de (f(x) menos f(a)) sobre (x menos a). Isso aqui nada mais é do que a inclinação
da reta que passa por dois pontos, ou seja, a inclinação da reta secante. Só relembrando: se você tem
uma função como essa, aqui nós temos o ponto (a,f(a)),
enquanto esse é o ponto (x,f(x)). Essa expressão vai ser a inclinação da reta
que passa por esses dois pontos, na qual tem a inclinação
delta y sobre delta x. O que você faz é tomar
o limite da inclinação toda vez que esse ponto vai se
aproximando cada vez mais desse aqui. Essa é a definição de derivada e nós dividimos
isso aqui pela derivada de g(a), então dividimos pelo limite
quando x tende a “a” de (g(x) menos g(a))
sobre (x menos a). Note que aqui nós temos o limite
quando x tende a “a” e aqui também. Isso vai ser igual ao limite
quando x tende a “a” de ((f(x) menos f(a)) sobre (x menos a)) sobre
((g(x) menos g(a)) sobre (x menos a)). Você pode simplificar isso multiplicando
por (x menos a) em cima e por (x menos a) embaixo e cancelar esse (x menos a)
com esse (x menos a) e esse aqui com esse aqui. Isso vai ser igual ao limite
quando x tende a “a” de (f(x) menos f(a))
sobre (g(x) menos g(a)). Note que f(a) é igual a zero
e g(a) também é igual a zero. Portanto isso é zero
e isso aqui também é zero. Assim, vamos ficar com o limite
quando x tende a “a” de f(x) sobre g(x). Mas claro, essa é a prova
de um caso especial, porque eu estou considerando
essas coisas aqui, ou seja, isso aqui é igual a isso,
que era o que queríamos demonstrar. Eu espero que essa aula tenha ajudado
e até a próxima, pessoal!