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Transcrição de vídeo

vamos introduzir a idéia de equação diferencial as equações diferenciais são muito úteis para modelagens e simulações de fenômenos que queremos analisar e compreender como operam vamos primeiro observar o que de fato é uma equação diferencial veja esta equação a derivada segunda de y mais duas vezes a derivada de y igual a três vezes o y o que temos aqui é uma equação diferencial porque envolve derivadas de uma certa função y que pode ser considerada por exemplo y é uma função de x poderíamos escrever isto como anotação de função teremos aqui efe duas linhas de x mais duas vezes o iof linha de x igual a três vezes o fdx poderemos também usar a notação de lá e benítez podemos escrever aqui é derivada segunda de y em relação à x duas vezes mais duas vezes a derivada de y em relação à x é igual a três vezes o y que é a nossa função temos aqui três formas de representar a mesma equação diferencial e o que essa equação diferencial está pedindo é para que encontremos uma função tal que a segunda derivada dela mais duas vezes a derivada dela é igual a três vezes a função propriamente essas três equações são essencialmente a mesma coisa é importante você observar que a solução para uma equação diferencial é uma função ou então uma família de funções a solução para uma equação diferencial não é um valor um conjunto de valores e é muito importante que isso fique claro para você vamos contratar isso com as equações tradicionais as equações algébricas que você conhece há mais tempo vou colocar aqui um exemplo de equação algébrica x ao quadrado mais 3 x mais dois igual a zero a solução para esta equação algébrica vai ser um número ou então um conjunto números podemos resolvê la facilmente faturando porque o que temos aqui é x + 2 vezes x mais um que tem que ser igual a zero então x para satisfazer essa equação é igual a menos 2 ou então x é igual a menos um então a solução para esta equação algébrica é um conjunto neste caso de dois números que satisfazem a equação se eu trocar o x por menos 2 a equação estará satisfeita ou seu trocar o x por menos um é a equação estará igualmente satisfeita agora nas equações diferenciais o que temos aqui é uma relação entre as funções e as suas derivadas então a solução de uma equação diferencial vai ser uma função um conjunto de funções vamos fazer isso ficar um pouco mais tangível o que seria então uma solução para uma dessas três equações diferenciais que na verdade são todas a mesma temos aqui então a equação diferencial estamos procurando função ou funções que a satisfação é isso que nós buscamos a resolver uma equação diferencial geralmente uma equação diferencial tem como solução uma variedade de funções uma das soluções para a equação diferencial que temos aqui é y eu vou chamar de y ind x igual a e elevado à menos 3 x 1 agora eu sugiro que você pausa o vídeo encontra derivada primeira desse y 11 a derivada segunda do y e verifique se ela funciona nesta equação diferencial que temos aqui ao lado direito agora assumindo que você trabalhou nisso vamos terminar o trabalho juntos temos aqui a função y dx definida por elevado - 3 x a sua derivada primeira é vamos ter que usar a regra da cadeia a derivada de menos 3 x em relação à china é menos três foi por aqui multiplicando vezes a derivada de elevada - 3 x 1 em relação ao próprio - 3 x é elevado - 3 x então à deriva da primeira - 3 elevada - 3 x 1 vamos agora para a derivada segunda que derivada da devassa da 1ª vamos usar a mesma ideia temos de usar a regra da cadeia derivada de menos 3 x é menos três que a multiplicar ou menos três que já está aqui fica nove vezes e levado à menos 3 x 1 agora vamos substituir estas funções na equação diferencial e verificar se as expressões ficam verdadeiras ou reescrever então aqui a derivada segunda de y é 9 elevada - 3 x mais duas vezes à deriva da primeira à deriva da primeira nós temos aqui é menos três elevado - 3 x vezes 2 vai ficar menos seis elevada - 3 x 1 e se isso satisfaz de fato a equação diferencial isto que temos aqui precisa ser igual a 3 y que é três vezes a nossa função ou seja três vezes elevada - 3 x 1 o elevado - 3 x ou y é a função que tínhamos aqui vamos simplificar o lado esquerdo da igualdade 9 elevado - 3 x -6 elevada - 3 x 1 nós podemos agrupar porque a parte do elevado - 3 x é igual nos dois termos vamos ter então 3 e elevada - 3 x que de fato é igual ao 3 elevada - 3 x do lado direito da igualdade então de fato y é uma solução desta equação diferencial digo uma solução porque pode e de fato vão existir outras vamos verificar aqui que e elevado x ou seja vamos chamar de y2 igual elevado x é também uma solução desta equação diferencial mais uma vez a sugestão é você para usar o vídeo e verificar que isso está correto a derivada primeira de y igual elevada x e y linha igual à elevada x também a derivada segunda que é derivada da elevada primeira também vai ser elevada x ou seja y2 duas linhas igual elevada x agora substituindo o y duas linhas por elevada x mais duas vezes ele vai da primeira que também é elevado à x temos então elevada x mais duas vezes e leva da china isso precisa ser igual ao segundo membro da igualdade quero 13 psi long ou seja três vezes e elevada x de fato isso acontece portanto y2k é igual à elevada x é outra solução da nossa equação diferencial muito bem isto é apenas um começo da ideia de equações diferenciais nos próximos vídeos nós vamos ver como são estas famílias de funções que podem ser soluções de uma equação diferencial ferramentas para resolver equações diferenciais visualizar as soluções das equações diferenciais e muito mais coisas para aprofundar até lá
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