Verificando soluções de equações diferenciais

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos verificar soluções para equações diferenciais Digamos que nós temos aqui a derivada de y em relação a x = 4y sobre x e nessa aula nós vamos ver que a solução de uma equação diferencial não é um valor ou um conjunto de valores mas sim uma função ou um conjunto de funções e para tentar resolver essa equação diferencial vamos testar algumas funções e ver se elas são soluções então por exemplo Será que a função y = 4x é solução dessa equação diferencial pause o vídeo e tente descobrir para essa função ser solução dessa equação nós devemos derivada lá em relação a x e a resposta ser 4y sobre x E se nós de levarmos a função em relação a x nós temos derivar isso aqui que vai ser igual a quatro portanto se substituirmos essa função no lugar do Y isso tem que ser igual a quatro então Quatro vai ser = 4y ou seja 4 x 4 x sobre x e eu posso cancelar esse x com esse x e eu vou ficar com 4 = 4 x 4 = 16 e 4 = 16 não portanto essa função não é uma solução agora vamos ver se a função y = x a quarta é a solução dessa equação vamos fazer do mesmo modo a derivada de y em relação a x utilizando a regra da potência vai ser igual a 4 x Ao Cubo Então o que temos que fazer é pegar essa função e substituir aqui no lugar do Y e ver se a 14 x Ao Cubo então 4 x Ao Cubo tem que ser igual a quatro vezes Y sendo que Y é x a quarta dividido por x e Aqui nós temos x a quarta dividido por x que vai ser a mesma coisa que x Ao Cubo então 4 x Ao Cubo = 4x ao cubo o que é verdade né portanto essa é uma solução para essa equação diferencial não é a única é uma solução é o que chamamos de solução particular Vamos ver outra equação aqui que eu vou colocar com outra anotação Digamos que nós temos a derivada de x = f de x menos x e a primeira função que eu quero testar é f de x = 2x Será que ela é uma solução para essa equação eu sugiro que você pode o vídeo e tente descobrir primeiramente a descobrir a derivada dessa função ou seja a derivada da função f de x = 2 e com isso nós devemos testar essa igualdade é filhinha de x é dois então vamos ter 2 = f de x que é dois x menos x e se você resolver isso você vai ter que 2 = x e essa igualdade só é verdadeira quando x = 2 e por causa disso essa função não vai ser solução porque o que queremos aqui é uma solução que seja a verdadeira para qualquer X no domínio da função e essa função não é uma solução vamos testar outra função vamos ver se f de x = x + 1 é a solução dessa equação diferencial vai ser a mesma coisa primeiro nós devemos encontrar a derivada de f de x que vai um a um e nós devemos fazer essa comparação E aí vamos ter um igual a fdx que nesse caso é x + 1 então x mais 1 menos x e eu posso cancelar esse x com esse x ficando com um igual a um isso é verdade não é um é igual a um portanto isso é válido E com isso essa função é uma solução Deixa de ser aqui e vamos ver o último exemplo Vamos testar se a função f de x = é elevado a x + x + 1 é solução dessa equação diferencial de novo pause o vídeo e tente descobrir como sempre nós devemos derivar fdx E aí nós vamos ter que a derivada de é elevado a x vai ser é elevado a x e a derivada de x é um e a derivada de uma constante é zero então a é de f de x é elevado a x + 1 e nós devemos fazer essa comparação E aí nós vamos ter é elevado a x + 1 = f de x que nesse caso é elevado a x + x + 1 então é elevado a x + x mais 1 menos x e esse X é cancelado com esse menos x E aí vamos ter é elevado a x + 1 = é elevado a x + 1 isso é verdade portanto essa é uma solução para a equação diferencial e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal