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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 2: Verificando soluções de equações diferenciaisVerificando soluções de equações diferenciais
Podemos verificar se uma possível solução para uma equação diferencial é realmente uma solução. O que precisamos fazer é calcular a derivada e substituir a solução e a derivada na equação.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos verificar
soluções para equações diferenciais. Digamos que nós temos
aqui a derivada de "y" em relação a "x" igual a 4y/x. E nesta aula, nós vamos ver que
a solução de uma equação diferencial não é um valor ou um conjunto de valores, mas sim uma função ou
um conjunto de funções. E para tentar resolver
esta equação diferencial, vamos testar algumas funções
e ver se elas são soluções. Então, por exemplo, será que
a função y = 4x é solução desta equação diferencial? Pause o vídeo e tente descobrir. Para esta função ser
solução desta equação, nós devemos derivá-la em relação a "x" e a resposta será 4y/x. E se nós derivarmos
a função em relação a "x", nós devemos derivar isto aqui
que vai ser igual a 4. Portanto, se substituirmos
esta função no lugar do "y", isso tem que ser igual a 4. Então, 4 vai ser igual a 4y. Ou seja, 4 vezes 4x
sobre "x". E eu posso cancelar
este "x" com este "x", e eu vou ficar com 4 = 4 vezes 4
que é igual a 16. E 4 é igual a 16?
Não! Portanto, esta função não é uma solução. Agora, vamos ver se a função y = x⁴ é solução desta equação? Vamos fazer do mesmo modo. A derivada de "y" em relação a "x" utilizando a regra da potência,
vai ser igual a 4x³. Então, o que temos que fazer
é pegar esta função e substituir aqui no lugar do "y" e ver se a resposta é 4x³. Então, 4x³ tem que ser
igual a 4 vezes "y", sendo que "y" é x⁴/x. E aqui nós temos x⁴/x, que vai ser a mesma coisa que x³. Então, 4x³ = 4x³,
o que é verdade. Portanto, esta é uma solução
para esta equação diferencial. Não é a única, é uma solução. É o que chamamos de solução particular. Vamos ver outra equação aqui,
que eu vou colocar com outra notação. Digamos que nós temos
a derivada de "x" igual a f(x) - x. E a primeira função que
eu quero testar é f(x) = 2x. Será que ela é uma solução
para esta equação? Eu sugiro que você pause
o vídeo e tente descobrir. Primeiramente, você deve descobrir
a derivada desta função. Ou seja, a derivada da função f(x) = 2. E, com isso, nós devemos
testar esta igualdade f'(x) = 2. Então, vamos ter 2 = f(x),
que é 2x - x. E se você resolver isso,
você vai ter que 2 = x. E esta igualdade só é verdadeira
quando x = 2. E, por causa disso,
esta função não vai ser solução. Porque o que queremos aqui é uma solução que seja verdadeira para qualquer "x"
no domínio da função. E esta função não é uma solução. Vamos testar outra função? Vamos ver se f(x) = x + 1
é solução desta equação diferencial. Vai ser a mesma coisa, primeiro nós devemos encontrar
a derivada de f(x), que vai ser igual a 1. E nós devemos fazer esta comparação. E aí, vamos ter 1 = f(x), que, neste caso, é x + 1. Então, x + 1 - x. E eu posso cancelar este "x" com este "x",
ficando com 1 = 1. Isto é verdade, não é?
1 = 1. Portanto, isto é válido. E, com isso, esta função é uma solução. Deixe-me descer aqui. E vamos ver o último exemplo. Vamos testar se a função f(x)
igual a "e" elevado a "x" mais x + 1, é solução dessa equação diferencial. De novo, pause o vídeo e tente descobrir. Como sempre, nós devemos derivar f(x). E aí, nós vamos ter que
a derivada de "e" elevado a "x" vai ser "e" elevado a "x". E a derivada de "x" é 1, e a derivada de uma constante é zero. Então, a derivada de f(x)
é "e" elevado a "x + 1". E nós devemos fazer esta comparação. E aí, nós vamos ter "e" elevado a "x + 1"
igual a f(x), que, neste caso,
é "e" elevado a "x" mais x + 1. Então, "e" elevado a "x" mais x + 1 - x. E este "x" é cancelado com este "-x". E aí, vamos ter "e" elevado a "x" mais1,
igual a "e" elevado a "x" mais 1. Isto é verdade. Portanto, esta é uma solução
para a equação diferencial. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!