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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 3: Esboçando campos vetoriais- Introdução aos campos de direções
- Exemplo solucionado: equação a partir do campo de direções
- Exemplo solucionado: campo de direções a partir de uma equação
- Exemplo solucionado: como formar um campo de direções
- Campos de direções e equações
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Introdução aos campos de direções
Os campos de direções nos permitem analisar graficamente equações diferenciais. Saiba como desenhá-los e usá-los para encontrar soluções específicas.
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- por que os professores não explicam o por que, que a letra tal tem esse determinado valor?(3 votos)
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RKA8JV - Vamos supor que a gente tenha uma equação diferencial dy/dx
sendo igual a -x/y. Então, esta aqui é
a nossa equação diferencial. Embora a gente não saiba a solução
desta equação diferencial, seria interessante a gente ter pelo
menos uma ideia de como ela se parece. E a gente consegue fazer isso através do plano cartesiano. Então, se a gente for lá
e desenhar o plano cartesiano e substituir vários valores aqui
nesta equação diferencial, a gente vai conseguir
pelo menos ter uma ideia da inclinação da reta tangente
em cada um desses pontos, e através dessa inclinação, a gente consegue ter uma ideia
de como a função vai se parecer. Então, a primeira coisa
que nós vamos fazer aqui é desenhar o nosso plano cartesiano. Aqui a gente tem o eixo "y" e aqui está o nosso eixo "x". Ficou meio exagerado aqui,
mas não tem problema. Aqui é o nosso eixo "x". Como eu disse, vamos colocar
alguns pontos aqui para a gente ter uma ideia de
como é a inclinação da reta tangente em cada um desses pontos. Então, vamos colocar aqui o 1, 2. Aqui, -1, -2. Aqui também, 1, 2, e aqui, -1, -2. Pelo menos para a gente ter uma ideia de como vai ser a inclinação da reta
tangente em cada um desses pontos. Aqui desse lado a gente pode fazer
uma tabela relacionando "x" e ''y". Aqui a gente vai ter coordenada a "x", aqui a coordenada "y" e aqui a derivada de "y"
em relação a "x". Ou seja, substituindo
aqui as coordenadas, a gente vai encontrar uma solução
para esta equação diferencial aqui. Então por exemplo, vamos observar o ponto em que a gente tem a coordenada "x"
sendo igual a zero e "y" sendo igual a 1. Substituindo aqui, a gente vai ter
menos zero sobre 1, que é igual a zero. Então, se a gente observar aqui,
no nosso sistema de coordenadas, no nosso plano cartesiano, neste ponto "x = 0", "y = 1", a gente vai ter uma inclinação
sendo igual a zero. Uma inclinação sendo igual a zero, é uma reta horizontal, desse jeito aqui. Se a gente, agora, vier aqui e observar
o ponto em que tem "x = 1" e "y = 1", qual vai ser a derivada de "y"
em relação a "x"? -1/1, que é igual a -1. Então, neste ponto, "x = 1", "y = 1",
que é mais ou menos aqui, a gente tem uma inclinação igual a -1,
que é desse jeito. Observando, agora, o ponto em que
a gente tem "x = 1" e "y = 0", que é este ponto aqui, porque
-1 sobre zero é algo indefinido, então, a gente não tem como dizer
a reta tangente neste ponto. Na verdade, a gente pode ter inúmeras, infinitas retas tangentes neste ponto. Mas a gente poderia, por exemplo, dizer que aqui tem uma reta
tangente vertical desse jeito, poderia, mas não é
o que vou fazer agora, ok? Vamos esperar para a gente
ver outros pontos e ver qual vai ser o
comportamento da função aqui. Então, a gente vai dizer que neste ponto
a gente tem algo indefinido, mas que a gente pode ter
uma reta vertical. Será que ela é de fato vertical? Vamos colocar aqui um ponto
de interrogação por enquanto. O próximo ponto que
a gente pode calcular aqui é o ponto em que a gente tem o "x"
igual a -1 e o "y" também igual a -1. Menos -1 é positivo, só que
a gente vai dividir por -1, então, a gente vai ter uma resposta
também sendo igual a -1. Então, a derivada de "y" em relação a "x"
quando "x = -1" e "y = -1", vai ser igual a -1. Então, neste ponto
"x = -1" e "y = -1" a gente também vai ter uma inclinação
da reta tangente desse jeito aqui. Por último, a gente pode
calcular o ponto "x = 1" e "y = -1", então, aqui a gente
vai ter o ponto "x = 1", "y = -1". Neste caso, a gente vai ter
-1 dividido por -1, que é igual a 1. Então, neste ponto "x = 1" e "y = -1", a gente tem uma inclinação
da reta tangente desse jeito aqui, sendo positiva. O interessante é que você poderia
pegar qualquer um dos pontos e substituir os valores aqui e encontrar a inclinação
da reta tangente a esse ponto. Por exemplo, se a gente pegasse
o ponto "x= 2" e "y = -2", a gente também teria uma inclinação
da reta tangente sendo igual 1, que é desse jeito aqui. O mesmo se aplicaria a esse ponto
"x = -1" e "y = 1". A gente teria aqui, menos -1, que é 1, dividido por 1,
que também é 1, então, a gente também teria uma
inclinação positiva desse jeito. E o mesmo aqui no ponto
"x = -2" e "y = 2". Se você vier aqui no ponto
"x = 2" e "y = 2", você vai encontrar uma inclinação
negativa desse jeito, igual a -1. E se você vier aqui no ponto
"x = -2" e "y = -2", você também vai ter uma
inclinação desse jeito aqui. Ou seja, se você fizer todas as
inclinações das retas tangentes em cada um dos diversos pontos, você vai ter pelo menos uma noção
de como a função se parece, e aí você consegue traçar,
através dessas retas tangentes, e ter uma noção que ela vai se parecer
mais ou menos desse jeito aqui. Então, esta que seria uma noção
de como é a função. Se você pegasse em algum outro ponto
e fosse substituindo todos os valores, você também teria uma noção de que
ela iria se parecer desse jeito aqui. Se traçasse aqui embaixo, você também teria uma noção
de que ela tem essa semelhança, ou seja, através das inclinações
das retas tangentes em cada um desses pontos, você vai ter uma noção de como
que a função se parece. Isso aqui inclusive recebe um nome, é chamado de campo vetorial, ou campo das inclinações
das retas tangentes. Ou seja, isso é chamado de campo vetorial. Através desse campo vetorial, que nos mostra a inclinação
das retas tangentes em cada um desses pontos, você começa a ter uma noção de como
se parece esta equação diferencial, ou seja, o formato das diferentes
soluções para esta equação diferencial.