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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 3: Esboçando campos vetoriais- Introdução aos campos de direções
- Exemplo solucionado: equação a partir do campo de direções
- Exemplo solucionado: campo de direções a partir de uma equação
- Exemplo solucionado: como formar um campo de direções
- Campos de direções e equações
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Exemplo solucionado: equação a partir do campo de direções
Dado um campo de direções e algumas equações diferenciais, podemos determinar qual equação corresponde ao campo de direções considerando coeficientes angulares específicos.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Neste exercício, vamos fazer
alguma coisa diferente. Aqui nós temos
o campo de inclinações. E aqui nós temos várias
equações diferenciais. Vamos ver qual dessas se aplica
a esse campo de inclinações. Nós podemos atribuir um valor
a "x" e um valor a "y" para ficar fácil de examinar,
em determinada situação, se eles se aplicam ou não. Vamos colocar "x = 1" e "y = 1", ou seja,
este ponto aqui, (1 ,1), que tem esta inclinação, e vamos examinar as equações
diferenciais que estão aqui. Nesta primeira equação,
para "x = 1" e "y = 1", nós temos que "dy / dx" vai ser igual a "-1 / 1", ou seja, -1. O que não é verdade,
porque esta inclinação aqui de jeito nenhum é -1. Então, podemos cancelar esta aqui. Vamos ver esta outra. Nós temos "dy / dx = x - y". Temos "dy / dx = x - y",
que dá zero. Esta inclinação não é zero. Então, podemos cancelar
essa também. Nesta outra aqui,
nós temos "dy / dx = y - x". Vai ficar a mesma coisa, ou seja, "dy / dx" vai ficar "1 - 1 = 0". Esta inclinação não é zero. Vamos ver esta seguinte: "dy / dx = x + y". Então, temos "dy / dx = x + y", que dá 2. Esta inclinação pode ser 2. Realmente, se você notar,
à medida que aumento o "x", essa inclinação vai crescendo. Depois, quando eu passo
para o lado negativo, quando "x" é negativo
e "y" é negativo, "x + y" vai dar um número negativo. Essa inclinação é negativa
e cada vez vai ficando mais inclinada negativamente. Então, essa é uma forte candidata. E quando "x = 0" e "y = 0", ela não tem inclinação nenhuma. Então, esta aqui é uma forte candidata
a ser a resposta correta. Vamos ver a última opção. Nós temos "dy / dx = x / y", que seria igual a 1. Ora, ela seria igual a 1, então, para (2, 2) seria
igual a 1 também. Para (3, 3) seria igual a 1, para (4, 4)... e assim sucessivamente. Não é o que está acontecendo. Portanto, podemos cancelar esta. Então, a solução que
nós achamos foi: "dy / dx = x + y". Se você pegar uma solução aqui, por exemplo,
esta em (-6, 6), a curva pode ser algo
deste tipo aqui. Uma coisa desse tipo. Se você pegar uma solução
em (1, -3), a curva... Vou coloca em outra cor. A curva pode ser
uma coisa deste tipo aqui. É interessante notar que, quando "x = -10" e "y = 9",
neste ponto aqui, nós teremos uma solução
que é (-x, -1). Ou seja, vai ser toda esta reta aqui, onde você tem a solução (-x, -1). A inclinação é -1 e está colocada -1
para a esquerda. Então, a resposta é esta. Espero que este vídeo
tenha sido útil!