Aproximando curvas solução em campos de direções

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Aqui nós temos a derivada de y em relação a x igual y/6 que multiplica (4 menos y) e aqui nós temos o campo de direções para essa equação diferencial, que podemos verificar aqui. Para isso eu vou construir uma tabela onde vou colocar alguns valores de x e vamos descobrir y e dy/dx. Eu posso começar analisando esse ponto, que é x igual a 1 e y igual a 1. Se substituirmos aqui, vamos ficar com ⅙ que multiplica 4 menos 1, que vai dar ½. Essa é inclinação da reta tangente ao ponto (1,1), ou seja, a inclinação dessa reta tangente é ½. E claro, essa inclinação depende apenas do y, não importa qual seja o valor de x. Isso significa que quando x é igual a ½, a inclinação da reta que passa por esse ponto também vai ser ½. O mesmo acontece com essa inclinação e com essa aqui também, ou seja, para todos esses valores a inclinação sempre vai ser ½. Isso nos mostra que, de fato, esse é o campo de direção dessa equação diferencial. Se você não acredita, nós podemos até olhar outros pontos para ter certeza disso e, para isso, podemos utilizar o campo de direções para visualizar algumas soluções. Vamos dizer que nós temos esse ponto, que é x igual a 1 e y igual a 6. Como eu disse, não importa o valor de x. Nós temos que usar somente o valor de y. Substituindo na equação diferencial, vamos ficar com 6 sobre 6, que dá 1, e isso multiplica 4 menos 6, que vai dar -2. Essa inclinação de -2 é o que, de fato, está aqui, ou seja, quando y vale 6 nós temos uma inclinação de -2. De fato, esse é o campo de direções para essa equação diferencial. Se ainda não acredita nisso, você pode testar para outros valores, mas o que eu quero fazer nesta aula é utilizar esse campo de direções para visualizar soluções para esta equação diferencial. Nós fazemos isso utilizando pontos por onde a solução deve passar. Então, vamos dizer que nós temos uma solução que passa por esse ponto. Como ela deve se parecer? Bem, a inclinação da reta tangente a esse ponto é essa aqui e quando y é igual a 2, ela vai estar paralela a todos esses segmentos no campo de direções e a partir daqui parece que a inclinação dessa reta começa a diminuir quando nos aproximamos de y igual a 4. Se eu tivesse alguma solução que passasse nesses pontos, acredito que ela se pareceria com algo assim. Isso quer dizer que a inclinação vai diminuindo conforme nos aproximamos de y igual a zero, e quando y é igual a zero, isso aqui vai dar zero, o que nos diz que essa derivada será zero. Então, um conjunto de soluções razoáveis se parece com isso, e isso aqui nos dá uma pista das soluções. Mas e se ela passar por aqui? Nós vamos utilizar a mesma lógica. Vamos ter algo mais ou menos assim, ou seja, nós estamos tentando achar o conjunto de soluções para essa equação diferencial, e é exatamente o que essas duas coisas estão dizendo, ou seja, nós estamos tentando achar uma classe de funções que satisfaça essa equação diferencial. Olhando esse campo de direções, parece que tem algo interessante entre y igual a zero e y igual a 4, ou seja, parece que temos soluções como essas que seguem um certo padrão. Mas o que acontece para valores maiores ou iguais a y igual a 4 ou para valores de menores ou iguais a y igual a zero? Por exemplo, o que aconteceria se uma solução passasse por esse ponto? Esse campo de direções nos diz que a inclinação da reta que passa por esse ponto é zero e, portanto, o valor de y não vai mudar. Com isso, a nossa inclinação vai continuar zero, ou seja, isso aqui é uma solução para essa equação diferencial. Assim, y igual a 4 é uma solução particular dessa equação diferencial, o que nos diz que se substituir 4 aqui, você vai ter 4/6, que multiplica 4 menos 4, que vai dar zero, Então zero vez isso vai dar zero do lado direito. Portanto, a derivada vai ser igual a zero. A mesma coisa vale para y igual a zero, ou seja, também é uma solução particular para essa equação diferencial. E o que acontece se pegarmos um ponto acima do y igual a 4? Esse conjunto de soluções vai ser algo mais ou menos assim e o campo de direções nos dá uma ideia dessa inclinação, ou seja, conforme a minha curva progride, a minha solução também progride. Então, a solução que inclui o ponto (0,5) é algo parecido com isso e uma solução que inclui o ponto (0, -½) vai ser algo parecido com isso. Enfim, o que eu quis mostrar nesta aula é a importância desse campo de direções. Se você tem uma equação diferencial que envolva somente a primeira derivada, nós podemos colocar esse conjunto de soluções em um campo de direções. Isso vai mostrar a tendência para essas inclinações e nos dá uma ideia para quais são as soluções dessa equação diferencial. Eu espero que essa aula tenha os ajudado e até a próxima, pessoal!