Então temos a equação diferencial, derivada de y em relação a x é igual a y sobre seis
vezes quatro menos y. E o que plotamos bem aqui é o campo de direções para esta equação diferencial
e podemos verificar que na realidade este é
um campo de direções para esta equação diferencial, vamos desenhar uma pequena tabela agora, vamos só verificar alguns pontos, consideremos x, y e dy/dx. Vamos dizer que comecemos com... não sei, vamos começar com esse ponto aqui,
um vírgula um, quando x é um e y é um. Quando eu olho a equação diferencial, 1/6 vezes
quatro menos um, então temos 1/6 vezes três, que é 3/6, que é 1/2, e vemos de fato
no campo de direções, que eles retratam a inclinação
lá se uma solução vai para aquele ponto, bem no ponto, a
inclinação seria 1/2. E como se vê, ela depende somente
do valor de y, não importando qual x temos contando
que y seja um, dy/dy será 1/2, e você que isso é a razão de que quando x é 1 e 1/2, e y é um,
você ainda tem uma inclinação de 1/2 e enquanto y for um, todos os
pontos amostrados bem aqui, todos tem a inclinação de 1/2. Então olhando para isso, temos a sensação de que esse campo de
direções é consistente com essa equação diferencial. Mas vamos tentar outros pontos pra
sentirmos melhor sobre isso, e então usaremos um campo de direções para visualizar algumas soluções. Então vamos pegar um ponto interessante, digamos que você tenha esse ponto,
na verdade não esse, pois ele é um ponto na metade, vamos
dizer que temos esse. Vejamos, vamos considerar que pegamos
esse ponto aqui, então seu x é igual a um, e seu
y é igual a seis, e vemos como a equação diferencial é definida, ela não depende de x ela é realmente dependente de y que irá direcionar a inclinação, mas temos
6/6, que é um, vezes quatro menos seis, que é
dois negativo. Isso é dois negativo, deveríamos ter uma inclinação de dois negativo que parece com o que está retratado.
Então enquanto y for seis, devemos ter uma inclinação
de dois negativo. Uma inclinação de dois negativo, e você vê isso no campo de direções. Espero que você se sinta
bem que isso é o campo de direções para
esta equação diferencial. Se não, te encorajo a verificar estes pontos aqui, mas agora vamos usar o campo de direções para visualizar soluções para
esta equação diferencial baseado em pontos em que a solução
deveria passar. Digamos que temos uma solução que passe por esse ponto aqui. Então como a solução deve se parecer? Mais uma vez, isso será uma
aproximação grosseira. Neste ponto teremos uma inclinação conforme o campo
de direções mostra, e conforme y aumenta, ela se parece com nossa inclinação... Neste ponto eu deveria -- deixe-me desfazer isso -- então se
eu seguir até este ponto em que y é igual a dois, eu
deveria estar paralelo a todos esses segmentos no
campo de direções que y é igual a dois, e então parece que a inclinação começa a diminuir
quando aproximamos y de quatro, e se eu tivesse uma solução que passasse nestes pontos, acredito que ela iria parecer com algo, e agora a inclinação diminui de novo, conforme nos aproximamos
de y igual a zero. E é claro que quando y é igual a zero tudo isso se iguala a zero então a derivada será zero. Então uma solução razoável se parece com isso. Isso nos da uma pista, se uma solução passa por estes pontos, isso bem aqui deve ser
como ela se parecerá. Mas e se ela passar, não sei, por esse outro ponto bem aqui? Bem, aí ela deve se parecer com .... Ela deve se parecer com isso,
pela mesma lógica. Então ela deve se parecer com isso, estamos tentando achar um
sentido, não sabemos a solução real para essa
equação diferencial, mas estamos achando um sentido pra este tipo de função
ou classe de funções, que deve satisfazer a equação diferencial. Mas o que é legal sobre
este campo de direções, é que parece que existe algo interessante se nossa solução incluir pontos entre y igual a zero e y igual a quatro. Parece que teremos soluções como esta, mas e se tivéssemos y maiores que este ou menores, ou exatamente zero ou quatro? Por exemplo, e se tivéssemos
uma solução que passasse neste ponto aqui? Bem, este ponto aqui, o campo de direções nos diz que a inclinação é zero. Então nosso y não irá mudar, e contando que nosso y não muda, ele ficará em quatro, então nossa inclinação ficará em zero, e na realidade já descobrimos que isso é uma solução para a equação
diferencial, y igual a quatro é uma solução para
esta equação diferencial. Então, y é igual a quatro, e você
pode verificar que isso é uma solução quando y é igual a quatro, este lado direito será igual a zero, e a derivada é zero para y igual a quatro. Então essa é uma solução para
a equação diferencial. E a mesma coisa para y igual a zero. Esta também é uma solução
para a equação diferencial. Agora e se incluíssemos pontos, aqui em cima, e -- deixe-me fazer em outra cor para que você possa ver -- digamos que nossa solução incluísse esses pontos. Bem, aí ela deveria se parecer
com algo assim. Mais uma vez, estou só utilizando
o campo de direções como um guia para me dar uma ideia
do que a inclinação deve ser conforme minha curva progride,
conforme minha solução proguide. Então a solução que inclui
o ponto zero cinco, deve parecer com algo assim. Mais uma vez, isso é só uma pista. Uma solução que inclui o ponto
zero negativo um e 1/2, deve parecer com algo assim... De toda forma, espero que isso te
dê uma melhor apreciação do porquê o campo de
direções é interessante. Se você tem uma equação diferencial que envolva só a primeira derivada, e algum x e y, e esta envolva somente a primeira derivada de y. Podemos plotar um campo
de direções como este, sem muito problema se nós essencialmente
continuarmos resolvendo para as inclinações, e então podemos
usar o campo de direções para termos um conceito ou um
entendimento visual do que as soluções devem se parecer considerando pontos que a
solução deve conter. Legendado por: [Sérgio Fleury]
Revisado por: [Musa Morena Marcusso Manhães]