Aproximando curvas solução em campos vetoriais

Então temos a equação diferencial, derivada de y em relação a x é igual a y sobre seis vezes quatro menos y. E o que plotamos bem aqui é o campo de direções para esta equação diferencial e podemos verificar que na realidade este é um campo de direções para esta equação diferencial, vamos desenhar uma pequena tabela agora, vamos só verificar alguns pontos, consideremos x, y e dy/dx. Vamos dizer que comecemos com... não sei, vamos começar com esse ponto aqui, um vírgula um, quando x é um e y é um. Quando eu olho a equação diferencial, 1/6 vezes quatro menos um, então temos 1/6 vezes três, que é 3/6, que é 1/2, e vemos de fato no campo de direções, que eles retratam a inclinação lá se uma solução vai para aquele ponto, bem no ponto, a inclinação seria 1/2. E como se vê, ela depende somente do valor de y, não importando qual x temos contando que y seja um, dy/dy será 1/2, e você que isso é a razão de que quando x é 1 e 1/2, e y é um, você ainda tem uma inclinação de 1/2 e enquanto y for um, todos os pontos amostrados bem aqui, todos tem a inclinação de 1/2. Então olhando para isso, temos a sensação de que esse campo de direções é consistente com essa equação diferencial. Mas vamos tentar outros pontos pra sentirmos melhor sobre isso, e então usaremos um campo de direções para visualizar algumas soluções. Então vamos pegar um ponto interessante, digamos que você tenha esse ponto, na verdade não esse, pois ele é um ponto na metade, vamos dizer que temos esse. Vejamos, vamos considerar que pegamos esse ponto aqui, então seu x é igual a um, e seu y é igual a seis, e vemos como a equação diferencial é definida, ela não depende de x ela é realmente dependente de y que irá direcionar a inclinação, mas temos 6/6, que é um, vezes quatro menos seis, que é dois negativo. Isso é dois negativo, deveríamos ter uma inclinação de dois negativo que parece com o que está retratado. Então enquanto y for seis, devemos ter uma inclinação de dois negativo. Uma inclinação de dois negativo, e você vê isso no campo de direções. Espero que você se sinta bem que isso é o campo de direções para esta equação diferencial. Se não, te encorajo a verificar estes pontos aqui, mas agora vamos usar o campo de direções para visualizar soluções para esta equação diferencial baseado em pontos em que a solução deveria passar. Digamos que temos uma solução que passe por esse ponto aqui. Então como a solução deve se parecer? Mais uma vez, isso será uma aproximação grosseira. Neste ponto teremos uma inclinação conforme o campo de direções mostra, e conforme y aumenta, ela se parece com nossa inclinação... Neste ponto eu deveria -- deixe-me desfazer isso -- então se eu seguir até este ponto em que y é igual a dois, eu deveria estar paralelo a todos esses segmentos no campo de direções que y é igual a dois, e então parece que a inclinação começa a diminuir quando aproximamos y de quatro, e se eu tivesse uma solução que passasse nestes pontos, acredito que ela iria parecer com algo, e agora a inclinação diminui de novo, conforme nos aproximamos de y igual a zero. E é claro que quando y é igual a zero tudo isso se iguala a zero então a derivada será zero. Então uma solução razoável se parece com isso. Isso nos da uma pista, se uma solução passa por estes pontos, isso bem aqui deve ser como ela se parecerá. Mas e se ela passar, não sei, por esse outro ponto bem aqui? Bem, aí ela deve se parecer com .... Ela deve se parecer com isso, pela mesma lógica. Então ela deve se parecer com isso, estamos tentando achar um sentido, não sabemos a solução real para essa equação diferencial, mas estamos achando um sentido pra este tipo de função ou classe de funções, que deve satisfazer a equação diferencial. Mas o que é legal sobre este campo de direções, é que parece que existe algo interessante se nossa solução incluir pontos entre y igual a zero e y igual a quatro. Parece que teremos soluções como esta, mas e se tivéssemos y maiores que este ou menores, ou exatamente zero ou quatro? Por exemplo, e se tivéssemos uma solução que passasse neste ponto aqui? Bem, este ponto aqui, o campo de direções nos diz que a inclinação é zero. Então nosso y não irá mudar, e contando que nosso y não muda, ele ficará em quatro, então nossa inclinação ficará em zero, e na realidade já descobrimos que isso é uma solução para a equação diferencial, y igual a quatro é uma solução para esta equação diferencial. Então, y é igual a quatro, e você pode verificar que isso é uma solução quando y é igual a quatro, este lado direito será igual a zero, e a derivada é zero para y igual a quatro. Então essa é uma solução para a equação diferencial. E a mesma coisa para y igual a zero. Esta também é uma solução para a equação diferencial. Agora e se incluíssemos pontos, aqui em cima, e -- deixe-me fazer em outra cor para que você possa ver -- digamos que nossa solução incluísse esses pontos. Bem, aí ela deveria se parecer com algo assim. Mais uma vez, estou só utilizando o campo de direções como um guia para me dar uma ideia do que a inclinação deve ser conforme minha curva progride, conforme minha solução proguide. Então a solução que inclui o ponto zero cinco, deve parecer com algo assim. Mais uma vez, isso é só uma pista. Uma solução que inclui o ponto zero negativo um e 1/2, deve parecer com algo assim... De toda forma, espero que isso te dê uma melhor apreciação do porquê o campo de direções é interessante. Se você tem uma equação diferencial que envolva só a primeira derivada, e algum x e y, e esta envolva somente a primeira derivada de y. Podemos plotar um campo de direções como este, sem muito problema se nós essencialmente continuarmos resolvendo para as inclinações, e então podemos usar o campo de direções para termos um conceito ou um entendimento visual do que as soluções devem se parecer considerando pontos que a solução deve conter. Legendado por: [Sérgio Fleury] Revisado por: [Musa Morena Marcusso Manhães]