Equações diferenciais separáveis

Separação de variáveis é um método comum para resolver equações diferenciais. Vamos ver como isso é feito, resolvendo a equação diferencial ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{3y^2}}$‍:

Nas linhas $(1)$‍ a $(3)$‍ nós manipulamos a equação para que ela ficasse na forma $f(y)dy=g(x)dx$‍. Em outras palavras, nós separamos $x$‍ de $y$‍ e assim cada variável está no seu próprio lado, incluindo $dx$‍ e $dy$‍, que formaram a expressão derivada ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$‍. É por isso que esse método é chamado de "separação das variáveis".

Na linha $(4)$‍ nós calculamos a integral definida de cada lado da equação. O princípio subjacente, como sempre nas equações, é que se $f(y)dy$‍ é igual a $g(x)dx$‍, então suas integrais indefinidas devem ser iguais.

Nas linhas $(5)$‍ e $(6)$‍ nós realizamos a integração em relação a $y$‍ (no lado esquerdo) e em relação a $x$‍ (no lado direito) e então isolamos $y$‍.

Nós adicionamos a constante $C$‍ apenas do lado direito. Adicionar uma constante dos dois lados é desnecessário, porque sempre podemos mover uma das constantes para o outro lado e assim terminaremos sempre com uma única constante.

Concluindo, a solução geral de ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{3y^2}}$‍ é $y=\sqrt[3]{x^2+C}$‍. Você pode derivar $y$‍ para confirmar essa solução.

Retornando à solução da equação, note como a separação de variáveis que nós realizamos nas linhas $(1)$‍ a $(3)$‍ nos permitiu integrar os dois lados e obter assim uma equação sem derivadas.