Conteúdo principal
Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 5: Cálculo de soluções gerais usando separação de variáveis- Introdução à equações separáveis
- Abordagem ao tratamento algébrico das diferenciais
- Equações diferenciais separáveis
- Equações diferenciais separáveis: encontre o erro
- Exemplo prático: equações diferenciais separáveis
- Equações diferenciais separáveis
- Exemplo solucionado: identificação de equações separáveis
- Identificação de equações separáveis
- Identifique equações separáveis
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Equações diferenciais separáveis
Separação de variáveis é um método comum para a solução de equações diferenciais. Aprenda como isso é feito e por que tem esse nome.
Separação de variáveis é um método comum para resolver equações diferenciais. Vamos ver como isso é feito, resolvendo a equação diferencial start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, 2, x, divided by, 3, y, squared, end fraction:
Vamos revisar essa solução.
Nas linhas left parenthesis, 1, right parenthesis a left parenthesis, 3, right parenthesis nós manipulamos a equação para que ela ficasse na forma f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x. Em outras palavras, nós separamos x de y e assim cada variável está no seu próprio lado, incluindo d, x e d, y, que formaram a expressão derivada start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction. É por isso que esse método é chamado de "separação das variáveis".
Na linha left parenthesis, 4, right parenthesis nós calculamos a integral definida de cada lado da equação. O princípio subjacente, como sempre nas equações, é que se f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y é igual a g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, então suas integrais indefinidas devem ser iguais.
Nas linhas left parenthesis, 5, right parenthesis e left parenthesis, 6, right parenthesis nós realizamos a integração em relação a y (no lado esquerdo) e em relação a x (no lado direito) e então isolamos y.
Nós adicionamos a constante C apenas do lado direito. Adicionar uma constante dos dois lados é desnecessário, porque sempre podemos mover uma das constantes para o outro lado e assim terminaremos sempre com uma única constante.
Concluindo, a solução geral de start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, 2, x, divided by, 3, y, squared, end fraction é y, equals, cube root of, x, squared, plus, C, end cube root. Você pode derivar y para confirmar essa solução.
Retornando à solução da equação, note como a separação de variáveis que nós realizamos nas linhas left parenthesis, 1, right parenthesis a left parenthesis, 3, right parenthesis nos permitiu integrar os dois lados e obter assim uma equação sem derivadas.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.