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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 5: Cálculo de soluções gerais usando separação de variáveis- Introdução à equações separáveis
- Abordagem ao tratamento algébrico das diferenciais
- Equações diferenciais separáveis
- Equações diferenciais separáveis: encontre o erro
- Exemplo prático: equações diferenciais separáveis
- Equações diferenciais separáveis
- Exemplo solucionado: identificação de equações separáveis
- Identificação de equações separáveis
- Identifique equações separáveis
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Identificação de equações separáveis
Para resolver uma equação diferencial usando separação de variáveis, nós devemos ser capazes de colocá-la na forma f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, em que f, left parenthesis, y, right parenthesis é uma expressão que não contém x, e g, left parenthesis, x, right parenthesis é uma expressão que não contém y.
Nem todas as equações diferenciais são assim. Por exemplo, start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, plus, y não pode ser colocada na forma f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, não importa o quanto tentemos.
Na verdade, o grande desafio de usar separação de variáveis é identificar onde esse método é aplicável. Equações diferenciais que podem ser resolvidas usando o método da separação de variáveis são chamadas de equações separáveis.
Então, como podemos dizer que uma equação é separável? O tipo mais comum são as equações em que start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction é igual ao produto ou ao quociente de f, left parenthesis, y, right parenthesis e g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Por exemplo, start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction pode se tornar start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x quando multiplicada por start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c e d, x.
Além disso, start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd pode se tornar start fraction, 1, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x quando dividida por start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c e multiplicada por d, x.
Aqui estão alguns exemplos concretos:
Outras equações devem ser ligeiramente manipuladas antes de estarem na forma start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, f, left parenthesis, y, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis. Por exemplo, precisamos fatorar o lado direito de start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, y, minus, 7, x para colocá-la na forma desejada:
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- Um dos métodos para resolver equações diferenciais ordinárias é separar as variáveis, de forma que tenhamos g left parenthesis y right parenthesis d y equals f left parenthesis x right parenthesis d x, sendo, portanto, possível determinar a solução.
Considerando a solução de equações diferenciais ordinárias pelo método de separação de variáveis e a solução particular, assinale a alternativa que apresenta corretamente a solução particular da equação diferencial ordinária y apostrophe equals fraction numerator x y over denominator 1 plus x squared end fraction , que satisfaz y left parenthesis 2 right parenthesis equals 5.(1 voto)