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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 5: Cálculo de soluções gerais usando separação de variáveis- Introdução à equações separáveis
- Abordagem ao tratamento algébrico das diferenciais
- Equações diferenciais separáveis
- Equações diferenciais separáveis: encontre o erro
- Exemplo prático: equações diferenciais separáveis
- Equações diferenciais separáveis
- Exemplo solucionado: identificação de equações separáveis
- Identificação de equações separáveis
- Identifique equações separáveis
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Abordagem ao tratamento algébrico das diferenciais
Abordagem ao tratamento algébrico das diferenciais.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - No seu estudo de Cálculo, você
já se deparou com a expressão que a derivada da função "f"
é o o limite para quando Δx tende a zero de f(x + Δx) - f(x)
sobre Δx. O que está acontecendo? O que acontece é que você
tem uma reta secante, onde você tem aqui o seu Δy e você tem aqui o seu Δx. Quando Δx está se aproximando a zero, você vai ter uma tangente neste ponto. E isso aqui nós chamamos de derivada. Acontece que nós
podemos dizer que y = f(x). Portanto, a derivada podemos chamar de y' ou podemos chamar de dy/dx para esta função y = f(x). Agora, quando você se depara com
a equação diferencial do tipo dy/dx = y, e você quer resolver essa equação, você pode tratar algebricamente, sem o rigor matemático, e multiplicar por "dx" de um lado
e "dx" do outro lado. Fazendo isso, você simplifica
este "dx" com este "dx". Lembre-se que este "dx"
é um valor infinitesimal, é quando Δx tende a zero. Então, vai ser o nosso "dx". E f(x + Δx) - f(x)
também vai tender a zero. E este é o nosso "dy". Mesmo se tratando de
valores infinitesimais, quando damos um tratamento algébrico, vamos ficar com a expressão
dy = y vezes "dx". Podemos dividir ambos os lados por "y"
e ficamos com 1/y dy = dx. E podemos, dessa forma,
integrar ambos os lados, porque estão em função de valores
infinitesimais de "dy" e "dx". Portanto, embora não haja
um rigor matemático para grandezas infinitesimais dessa forma, este tratamento algébrico é muito útil quando nós transformamos
essa secante na tangente, damos um tratamento algébrico em uma equação diferencial. E, com isso, fica fácil resolver
a equação diferencial, mesmo sem o rigor matemático
que não vamos abordar aqui. Mas, na prática, nos ajuda muito a
resolver este tipo de equação diferencial.