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Exemplo prático: equações diferenciais separáveis

Dois exemplos práticos sobre como encontrar soluções gerais para equações diferenciais separáveis.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer alguns exemplos a respeito de equações diferenciais separáveis. Basicamente, nós vamos procurar a solução geral para cada uma delas. Então, vamos dizer que nós temos aqui a equação diferencial dy/dx que é a derivada de "y" em relação a "x", que é igual a "e" elevado a x, sobre "y". E eu sugiro que você pause o vídeo e tente encontrar uma solução geral para esta equação. A única dica que eu vou dar é que se trata de uma equação diferencial separável. Ok, vamos lá! Sabendo que é uma equação diferencial separável, o que devemos fazer é colocar o "dy" e o "y" de um lado da equação, e o "x" e o "dx" do outro lado. E, para fazer isso, nós vamos ter que fazer algumas manipulações algébricas. A primeira coisa que eu vou fazer aqui é multiplicar ambos os membros desta equação por "y". Então, vezes "y" aqui e vezes "y" aqui. E aí, nós vamos ficar com "y" que multiplica dy/dx, que é igual, eu posso cancelar este "y" com este "y" ficando com "e" elevado a "x". Agora, nós podemos multiplicar ambos os membros da equação por "dx". "dx" aqui que eu vou acabar cancelando com este "dx". E "dx" deste lado direito. E, com isso, temos "y" que multiplica "dy" igual a "e" elevado a "x" dx. E para resolver esta equação, nós devemos aplicar a integral em ambos os membros dela. E qual é a integral de "y"? Nós podemos aplicar a regra da potência reversa, que significa que nós vamos pegar este expoente e somar com 1 e dividir pelo expoente +1. Ou seja, a antiderivda de "y" vai ser y²/2, isso é igual à integral de "e" elevado a "x", que é o próprio "e" elevado a "x". E por ser uma integral indefinida, nós somamos com uma constante "C". Esta aqui é a solução geral para esta equação diferencial separável. Vamos ver mais um exemplo? Vamos dizer que eu tenha aqui dy/dx = y² que multiplica o seno de "x". Como sempre, eu sugiro que você pause o vídeo e tente encontrar a solução geral desta equação. Vamos lá! De novo, o que queremos é separar de um lado o "dy" e o "y" e do outro o "dx" e o "x". E como podemos fazer isso? Como aqui tem um y², eu posso multiplicar ambos os membros desta equação por "y" elevado a -2. E, com isso, estas duas coisas vão ser iguais a 1. Portanto, vamos ficar com "y" elevado a -2 dy/dx igual a seno de "x". E agora eu posso multiplicar ambos os membros desta equação por "dx". E aí, eu cancelo este "dx" com este "dx", ficando com "y" elevado a -2 dy igual a sen x dx. E eu posso aplicar a integral a ambos os membros desta equação. E qual é a antiderivada de "y" elevado a -2? Simples, é só aplicar a regra da potência reversa. Nós vamos pegar "y" e elevar a -2 + 1, que vai dar -1. E dividimos isso por -2 + 1 que vai dar -1. Só que como aqui é -1, eu posso colocar este menos antes do "y". Ou seja, colocar este menos aqui e sumir com este denominador. Isto vai ser igual a antiderivada de seno de "x". Aqui você pode pensar de dois jeitos. A primeira é memorizar que a integral do seno é menos cosseno ou, então, colocar um menos aqui e um menos aqui. E lembrar que a integral de menos seno de "x" é cosseno de "x". E colocando o menos que está antes da integral. E, claro, isto aqui é uma manipulação algébrica bastante comum quando estamos trabalhando com a integral de seno de "x". E, claro, ainda tem uma constante "C" aqui, porque se trata de uma integral indefinida. Mas eu ainda posso ajeitar mais isso, não é? Veja bem, eu posso multiplicar ambos os membros desta equação por -1 que vai transformar este sinal em positivo e este aqui também. Então, vamos ficar com 1/y = cos x + C. E se eu quisesse, eu ainda poderia isolar o "y" ficando com y = 1/ cos x + C. Então, esta aqui é a solução geral para esta equação diferencial. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!