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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 5: Cálculo de soluções gerais usando separação de variáveis- Introdução à equações separáveis
- Abordagem ao tratamento algébrico das diferenciais
- Equações diferenciais separáveis
- Equações diferenciais separáveis: encontre o erro
- Exemplo prático: equações diferenciais separáveis
- Equações diferenciais separáveis
- Exemplo solucionado: identificação de equações separáveis
- Identificação de equações separáveis
- Identifique equações separáveis
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Exemplo prático: equações diferenciais separáveis
Dois exemplos práticos sobre como encontrar soluções gerais para equações diferenciais separáveis.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer
alguns exemplos a respeito de equações
diferenciais separáveis. Basicamente, nós vamos procurar
a solução geral para cada uma delas. Então, vamos dizer que nós temos
aqui a equação diferencial dy/dx que é a derivada
de "y" em relação a "x", que é igual a "e" elevado a x, sobre "y". E eu sugiro que você pause o vídeo e tente encontrar uma solução geral
para esta equação. A única dica que eu vou dar é que se trata de uma equação
diferencial separável. Ok, vamos lá! Sabendo que é uma equação
diferencial separável, o que devemos fazer é colocar o "dy"
e o "y" de um lado da equação, e o "x" e o "dx" do outro lado. E, para fazer isso, nós vamos ter que fazer
algumas manipulações algébricas. A primeira coisa que eu vou fazer aqui é multiplicar ambos os membros
desta equação por "y". Então, vezes "y" aqui
e vezes "y" aqui. E aí, nós vamos ficar com
"y" que multiplica dy/dx, que é igual, eu posso cancelar este "y" com este "y"
ficando com "e" elevado a "x". Agora, nós podemos multiplicar ambos
os membros da equação por "dx". "dx" aqui que eu vou acabar
cancelando com este "dx". E "dx" deste lado direito. E, com isso, temos "y" que multiplica "dy" igual a "e" elevado a "x" dx. E para resolver esta equação, nós devemos aplicar a integral
em ambos os membros dela. E qual é a integral de "y"? Nós podemos aplicar a regra
da potência reversa, que significa que nós vamos
pegar este expoente e somar com 1 e dividir pelo expoente +1. Ou seja, a antiderivda
de "y" vai ser y²/2, isso é igual à integral
de "e" elevado a "x", que é o próprio "e" elevado a "x". E por ser uma integral indefinida,
nós somamos com uma constante "C". Esta aqui é a solução geral
para esta equação diferencial separável. Vamos ver mais um exemplo? Vamos dizer que eu tenha aqui dy/dx = y² que multiplica o seno de "x". Como sempre, eu sugiro
que você pause o vídeo e tente encontrar a solução geral
desta equação. Vamos lá! De novo, o que queremos
é separar de um lado o "dy" e o "y" e do outro o "dx" e o "x". E como podemos fazer isso? Como aqui tem um y², eu posso multiplicar ambos os membros
desta equação por "y" elevado a -2. E, com isso, estas duas coisas
vão ser iguais a 1. Portanto, vamos ficar com "y"
elevado a -2 dy/dx igual a seno de "x". E agora eu posso multiplicar ambos
os membros desta equação por "dx". E aí, eu cancelo este "dx" com este "dx", ficando com "y" elevado a -2 dy
igual a sen x dx. E eu posso aplicar a integral a ambos
os membros desta equação. E qual é a antiderivada
de "y" elevado a -2? Simples, é só aplicar
a regra da potência reversa. Nós vamos pegar "y" e elevar a -2 + 1,
que vai dar -1. E dividimos isso por -2 + 1
que vai dar -1. Só que como aqui é -1, eu posso colocar
este menos antes do "y". Ou seja, colocar este menos aqui
e sumir com este denominador. Isto vai ser igual a antiderivada
de seno de "x". Aqui você pode pensar de dois jeitos. A primeira é memorizar
que a integral do seno é menos cosseno ou,
então, colocar um menos aqui e um menos aqui. E lembrar que a integral
de menos seno de "x" é cosseno de "x". E colocando o menos que
está antes da integral. E, claro, isto aqui é uma
manipulação algébrica bastante comum quando estamos
trabalhando com a integral de seno de "x". E, claro, ainda tem uma
constante "C" aqui, porque se trata de
uma integral indefinida. Mas eu ainda posso
ajeitar mais isso, não é? Veja bem, eu posso multiplicar
ambos os membros desta equação por -1 que vai transformar este sinal
em positivo e este aqui também. Então, vamos ficar com 1/y = cos x + C. E se eu quisesse,
eu ainda poderia isolar o "y" ficando com y = 1/ cos x + C. Então, esta aqui é a solução geral
para esta equação diferencial. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!