Introdução à equações separáveis

RKA8JV - Neste vídeo, vamos falar sobre equações diferenciais separáveis. O que significa isso? Vamos supor que você tenha uma equação diferencial do tipo dy/dx = -x/yeˣ², com a condição inicial que, quando o "x = 0", "y = 1". O que nós queremos fazer é deixar todos os "y" de um lado e todos os "x" do outro lado. O que podemos fazer? Podemos multiplicar por "y" dos dois lados, com isso, este "y" desaparece e o diferencial "dx" de ambos os lados, esse "dx" desaparece. Com isso, conseguimos fazer com que, ficamos de um lado com "ydy" e do outro lado, -xe⁻ˣ². Eu coloquei o "e" elevado a x² para cima, troquei o sinal do expoente, "dx". Agora, nós podemos integrar de ambos os lados. A integral indefinida, ou seja, a antiderivada. A antiderivada de "ydy" é muito fácil, é y²/2. Agora, a antiderivada de -xeˣ² merece uma certa atenção. Qual seria a derivada e⁻ˣ²? A derivada de e⁻ˣ², nós teríamos que usar a regra da cadeia, que ficaria com e⁻ˣ² e a derivada de -x², que seria -2x. Nós não temos -2x aqui, nós temos -x. Mas podemos fazer um artifício, podemos dizer que é 1/2 de -2x vezes e⁻ˣ²dx. Podemos multiplicar por 2 e dividir por 2 porque aqui é uma integral, e a multiplicação em uma integral, nós podemos passar para fora. Ora, mas se a derivada de e⁻ˣ² é -2xe⁻ˣ², significa que a integral de -2xe⁻ˣ², é e⁻ˣ², então, vamos ter "y²/2 = 1/2e⁻ˣ² + c". Podemos descobrir essa constante, pois nós temos uma condição inicial, que, quando "x" for zero, "y" = 1. Portanto, y = 1. Aqui fica 1² e "x = 0", ou seja, aqui fica "e" elevado a menos zero ao quadrado, mais "c". 1²/2 vai ficar 1/2 mesmo. e "e" elevado a zero é 1, vai ficar igual 1/2 + c. Com isso, descobrimos que "c = 0" Tendo descoberto que "c = 0", podemos voltar para a nossa equação inicial. Vamos ter que y² sobre 2 é igual a e⁻ˣ² sobre 2 Podemos simplificar. Ficamos com y² = e⁻ˣ². Ora, se y² é igual a alguma coisa, nós podemos tirar a raiz quadrada, ou seja, seria ±√e⁻ˣ². Porém, nós vemos, pela condição inicial, que "y" é um cara positivo, então podemos eliminar esta parte negativa, e ficamos com y = e⁻ˣ², tudo elevado a 1/2, ou, "y" é igual a "e" elevado a menos "x²" sobre 2. Com isso, nós resolvemos a equação diferencial porque ela é separável, ficou muito fácil. Como nós podemos separar, podemos integrar de forma indefinida de ambos os lados e tirar a antiderivada, então fica fácil integrar. Em outros vídeos da Khan Academy, verificamos como separar as variáveis "y" e "x" e se elas são separáveis ou não. Neste caso, sendo separável, podemos integrar e chegar à solução final.