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Soluções particulares para equações diferenciais: função exponencial

Neste vídeo, calculamos f(0) dado que f'(x)=5eˣ e f(7)=40+5e⁷.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - É dado o valor de uma função para um determinado ponto. A função, quando o "x" for 7 é 40 + 5e⁷, mas isso aqui é um número, uma vez que "e" é um número elevado a uma determinada potência multiplicado por 5, mais 40. Sabe-se que a derivada de "f" é 5eˣ. Pergunta-se o valor de f(0). Bem, primeiro vamos fazer a antiderivada de 5eˣdx. Lembre-se que este símbolo é um "s" esticado de soma, e nós temos um número multiplicado por "e" elevado à variável "x", portanto, podemos escrever como 5 a antiderivada de eˣdx. O interessante desta antiderivada de eˣ é que a derivada de eˣ é igual a eˣ, e portanto, a antiderivada de eˣ é também eˣ. Obviamente neste caso, ficamos com 5eˣ mais uma constante qualquer "c". Agora, vamos determinar que constante é essa. Sabemos que "f(x) = 5eˣ + c" . Quando "x" for 7, nós vamos ter "f(7) = 5e⁷ + c". Desta primeira expressão nós temos que f(7) é 40 + 5e⁷. Podemos deduzir, então, que nossa constante vale 40, e assim podemos escrever nossa função. Nossa função fica sendo f(x) = 5eˣ mais a constante que acabamos de descobrir, que é 40. Portanto, nós temos que é f(0) será 5e⁰ + 40. Ou seja, e⁰ = 1, nós vamos ter que f(0) = 5 + 40. 45, e terminamos.