Soluções particulares para equações diferenciais: função racional

RKA3JV - Nós sabemos que f(2) = 12 e que f'(x) = 24/x³. E o que nós queremos descobrir é o f(x), com "x" sendo igual a -1. Tudo bem, nós temos aqui a derivada em termos de "x", e o que nós poderíamos começar a fazer aqui é encontrar a antiderivada da derivada, para assim a gente conseguir encontrar a função original. E é o que nós vamos fazer. Então, poderíamos dizer aqui que f(x) vai ser igual à antiderivada ou, simplesmente, que é a integral indefinida de f'(x), em que essa derivada é igual a 24/x³ ou, simplesmente, 24 vezes "x" elevado a -3, "dx". Bem, qual seria a antiderivada de 24 vezes "x" elevado a -3? Bem, nós podemos utilizar a regra inversa da derivada. Ou seja, ao invés de subtrair aqui no expoente, a gente vai somar 1 no expoente. Então, deixe-me reescrever isso aqui. Somando 1 no expoente, a gente vai ter aqui 24 vezes "x" elevado a -3, mais 1. -3 + 1= -2. Depois que fizer isso, a gente vai dividir pela mesma coisa, ou seja, dividir por -3 + 1, que é igual a -2. Bem, se você tiver com alguma dúvida sobre como nós fizemos isso, e se isso está certo, você poderia agora pegar a derivada desta expressão aqui. Então, nós pegaríamos este expoente e colocaríamos aqui na frente, assim a gente teria -2 vezes 24, dividido por -2 vezes "x" elevado a "-2 - 1". -2 − 1 = -3 Este -2, aqui na frente, a gente poderia simplesmente dividir com este -2 de baixo e ficaria, novamente, com 24 vezes "x" elevado a -3. Bem, o que nós fizemos até aqui? Esta aqui seria a função f(x)? Bem, ainda não, porque essa f(x) pode envolver uma constante. Então, vamos colocar uma constante aqui. Bem, se você vier a tomar esta derivada, a derivada desta expressão aqui, a derivada de 24 vezes "x" elevado a -2, sobre -2, vai ser o que nós já vimos antes, 24 vezes "x" elevado a -3. Agora, se você tomar a derivada de uma constante, ela simplesmente vai desaparecer. Então, você não vai ver esta constante quando você estiver olhando a derivada. Então, nós precisamos nos certificar de que pode sim, haver uma constante aqui. E eu tenho um certo sentimento que com base na informação inicial nós vamos ter uma constante aqui, sim. Então, vamos reescrever a função f(x). Então, nós sabemos que f(x) pode ser expressa desta forma aqui, 24 dividido por -2 que é, na verdade, -12, certo? Vezes o "x" elevado a -2, mais alguma coisa, mais alguma constante. Bem, o que nós precisamos fazer aqui, agora, é descobrir esta constante. Bem, o problema disse que f(2) =12. Então, eu vou escrever isso aqui. f(2) = 12, que é igual a, só temos que colocar o 2 aqui em todos os lugares de "x". Isto aqui vai ser 2 elevado a -2, mais "C", e isto é igual a 12. Mas o que é este 2 elevado a -2 aqui? 2 elevado a -2 é igual a 1 sobre 2², que é igual a 1/4. Portanto, isso aqui vai ser igual a -12 vezes 1/4. -12 vezes 1/4 é igual -3 + C. Agora, nós podemos somar 3 nos dois lados para resolver e encontrar "C". Do lado esquerdo, nós vamos ter 12 + 3 que é igual a 15, e do lado direito nós vamos ter apenas o "C". Então, C = 15. Agora, podemos escrever a nossa função f(x). Como é que podemos encontrar essa função f(-1)? Para encontrar isso agora, é só colocar, no lugar do "x", o valor -1, assim a gente vai ter que f(-1) é igual a -12 / -1² + 15. -12 / -1² é igual a -12. Assim, a gente vai ter que f(-1) = -12 + 15, e -12 + 15 é igual a 3.