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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 6: Cálculo de soluções particulares usando condições iniciais e separação de variáveis- Soluções particulares para equações diferenciais: função racional
- Soluções particulares para equações diferenciais: função exponencial
- Soluções particulares para equações diferenciais
- Exemplo solucionado: como encontrar uma solução específica para uma equação separável
- Exemplo solucionado: equação separável com solução implícita
- Soluções particulares para equações diferenciais separáveis
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Soluções particulares para equações diferenciais: função racional
Neste vídeo, calculamos f(-1) dado que f'(x) = 24/x³ e f(2)=12.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Nós sabemos que
f(2) = 12 e que f'(x) = 24/x³. E o que nós queremos descobrir
é o f(x), com "x" sendo igual a -1. Tudo bem, nós temos aqui
a derivada em termos de "x", e o que nós poderíamos
começar a fazer aqui é encontrar a antiderivada
da derivada, para assim a gente conseguir
encontrar a função original. E é o que nós
vamos fazer. Então, poderíamos dizer aqui que
f(x) vai ser igual à antiderivada ou, simplesmente, que é
a integral indefinida de f'(x), em que essa derivada
é igual a 24/x³ ou, simplesmente, 24 vezes "x"
elevado a -3, "dx". Bem, qual seria a antiderivada
de 24 vezes "x" elevado a -3? Bem, nós podemos utilizar
a regra inversa da derivada. Ou seja, ao invés de
subtrair aqui no expoente, a gente vai somar
1 no expoente. Então, deixe-me
reescrever isso aqui. Somando 1 no expoente,
a gente vai ter aqui 24 vezes "x"
elevado a -3, mais 1. -3 + 1= -2. Depois que fizer isso, a gente
vai dividir pela mesma coisa, ou seja, dividir por -3 + 1,
que é igual a -2. Bem, se você tiver com alguma
dúvida sobre como nós fizemos isso, e se isso
está certo, você poderia agora pegar
a derivada desta expressão aqui. Então, nós pegaríamos
este expoente e colocaríamos aqui na frente,
assim a gente teria -2 vezes 24, dividido por
-2 vezes "x" elevado a "-2 - 1". -2 − 1 = -3 Este -2, aqui na frente,
a gente poderia simplesmente dividir com este
-2 de baixo e ficaria, novamente,
com 24 vezes "x" elevado a -3. Bem, o que nós
fizemos até aqui? Esta aqui seria
a função f(x)? Bem, ainda não, porque essa
f(x) pode envolver uma constante. Então, vamos colocar
uma constante aqui. Bem, se você vier a tomar esta derivada,
a derivada desta expressão aqui, a derivada de 24 vezes
"x" elevado a -2, sobre -2, vai ser o que nós já vimos antes,
24 vezes "x" elevado a -3. Agora, se você tomar
a derivada de uma constante, ela simplesmente
vai desaparecer. Então, você não vai ver esta constante
quando você estiver olhando a derivada. Então, nós precisamos nos certificar de
que pode sim, haver uma constante aqui. E eu tenho um certo sentimento
que com base na informação inicial nós vamos ter uma
constante aqui, sim. Então, vamos reescrever
a função f(x). Então, nós sabemos que f(x)
pode ser expressa desta forma aqui, 24 dividido por -2 que é,
na verdade, -12, certo? Vezes o "x" elevado a -2,
mais alguma coisa, mais alguma constante. Bem, o que nós precisamos fazer aqui,
agora, é descobrir esta constante. Bem, o problema
disse que f(2) =12. Então, eu vou
escrever isso aqui. f(2) = 12,
que é igual a, só temos que colocar o 2
aqui em todos os lugares de "x". Isto aqui vai ser 2 elevado a -2,
mais "C", e isto é igual a 12. Mas o que é este 2
elevado a -2 aqui? 2 elevado a -2
é igual a 1 sobre 2², que é igual a 1/4. Portanto, isso aqui vai ser
igual a -12 vezes 1/4. -12 vezes 1/4
é igual -3 + C. Agora, nós podemos somar 3 nos dois lados
para resolver e encontrar "C". Do lado esquerdo, nós vamos ter
12 + 3 que é igual a 15, e do lado direito nós
vamos ter apenas o "C". Então, C = 15. Agora, podemos escrever
a nossa função f(x). Como é que podemos
encontrar essa função f(-1)? Para encontrar isso agora, é só
colocar, no lugar do "x", o valor -1, assim a gente vai
ter que f(-1) é igual a
-12 / -1² + 15. -12 / -1²
é igual a -12. Assim, a gente vai ter que
f(-1) = -12 + 15, e -12 + 15
é igual a 3.