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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 6: Cálculo de soluções particulares usando condições iniciais e separação de variáveis- Soluções particulares para equações diferenciais: função racional
- Soluções particulares para equações diferenciais: função exponencial
- Soluções particulares para equações diferenciais
- Exemplo solucionado: como encontrar uma solução específica para uma equação separável
- Exemplo solucionado: equação separável com solução implícita
- Soluções particulares para equações diferenciais separáveis
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Exemplo solucionado: como encontrar uma solução específica para uma equação separável
Resolução de uma equação diferencial separável, dadas as condições iniciais. Neste vídeo, a equação é dy/dx=2y² com y(1)=1.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal,
tudo bem? Nesta aula, nós vamos encontrar uma solução
específica de uma equação diferencial separável. E, para isso, nós temos
a seguinte equação diferencial: a derivada de “y” em relação a “x”, que é igual a 2,
que multiplica y ao quadrado, e vamos dizer que o gráfico de uma
solução particular passe pelo ponto (1, -1). E o que eu quero lhe perguntar é:
quanto vale “y” quando “x” é igual a 3? E, claro, eu sugiro que você pause
o vídeo e tente resolver isso sozinho. A chave para esse exercício é
transformar essa equação em uma equação
diferencial separável. E a chave para essa equação
diferencial separável é como o nome já diz:
é separar os “x” dos “y”. E como podemos
fazer isso? Deixa eu reescrever
a equação aqui e você pode multiplicar
ambos os membros da equação por “dx”, e, com isso, você pode cancelar
esse “dx” com esse. E aí vamos ficar com dy,
igual a 2y ao quadrado vezes dx. E, agora, podemos dividir
ambos os membros dessa equação por 2y ao quadrado e ajeitar,
ficando com ½, que multiplica y, elevado a -2, que multiplica dy,
igual a dx. Isso porque nós cancelamos
esse 2y ao quadrado com esse. E, agora, nós podemos integrar
ambos os membros da equação. Nesse lado esquerdo, nós vamos ter
a integral de “y” elevado a -2. Nós somamos 1, que vai dar -1 e
dividimos por -1, e, ajeitando, vamos ficar com -½,
que multiplica y elevado a -1. E a integral de “dx”, é “x”,
e somamos isso com uma constante. E, nessa parte, eu posso multiplicar
ambos os membros dessa equação por -2, e aí eu vou ficar com 1 sobre y,
porque eu já inverti isso aqui, igual a -2x mais C. Claro, eu poderia colocar aqui -2c também,
mas como é uma constante arbitrária, eu posso simplesmente colocar +C.
Não vai fazer diferença nenhuma. E preste atenção:
se 1 sobre y é igual a isso, então y é igual a
1 sobre -2x mais C. Ou seja, essas duas coisas são
inversas uma da outra. Agora, sim. Nós podemos utilizar o ponto que
foi dado para descobrir a constante “C ”. Então, substituindo o ponto,
nós vamos ter o “y”, que é -1 igual a 1 sobre -2x, que é 1,
então -2 vezes 1 mais C. E aí vamos ficar com -1 igual a 1
sobre -2 mais C. E se aplicarmos
o produto cruzado, vamos ficar com -1,
que multiplica -2c mais C, que é a mesma coisa que 2 menos C,
que é igual a 1, colocando aqui, nós podemos subtrair
ambos os membros dessa equação por -2, ficando com -C igual a
1 menos 2, que dá -1. E se multiplicarmos
ambos os membros da equação por -1, vamos ficar com
C igual a 1. Então, uma solução particular
dessa equação diferencial é y igual a 1
sobre -2x mais 1. Mas essa não é a resposta
da nossa pergunta. Ou seja, eu não quero saber
qual é a solução particular. O que eu quero saber é quanto vale
o “y” quando “x” é igual a 3. Ou seja, o “y” vai ser igual a 1
sobre -2 vezes 3, que vai dar -6, mais 1, que vai ser igual -⅕. Essa é a resposta
da nossa pergunta. E eu espero que essa aula
tenha os ajudado, e até a próxima, pessoal!