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Exemplo solucionado: como encontrar uma solução específica para uma equação separável

Transcrição de vídeo

Vamos agora praticar equações diferenciais separáveis. Então vamos dizer que tenho a equação diferencial, a derivada de <i>y</i> com respeito a <i>x</i> é igual a dois <i>y</i> ao quadrado, e vamos dizer que o gráfico de uma solução particular disso passa pelo ponto um, menos um, e minha pergunta é, o que é <i>y</i>, o que é <i>y</i> quando <i>x</i> é igual a três para essa solução particular, e a solução particular para a equação diferencial que passa pelo ponto um, menos 1, o que é <i>y</i> quando <i>x</i> é igual a três, e eu te encorajo a pausar o vídeo e tentar fazer sozinho. Estou assumindo que você tinha um objetivo e a chave para a equação diferencial-- e já é uma dica chamar de equação diferencial separável-- é você separar os <i>x</i>'s dos <i>y</i>'s. Ou todos os <i>x</i>'s e os <i>dx</i>'s dos <i>y</i>'s e <i>dy</i>'s. E como fazemos isso aqui? Bem, eu poderia--vou reescrever Isso será <i>dy</i><i>dx</i> é igual a dois <i>y</i> ao quadrado, é igual a dois <i>y</i>, igual a dois <i>y</i> ao quadrado. Vamos ver, podemos multiplicar os dois lados por <i>dx</i>, vamos ver, então nós teremos-- isso cancela com isso se assumirmos isso como valor, ou uma variável. Teremos <i>dy</i> é igual a dois <i>y</i> ao quadrado <i>dx</i>. Não terminamos ainda. Devemos pegar esse dois <i>y</i> ao quadrado do lado esquerdo. E então podemos dividir os dois lados por dois <i>y</i> ao quadrado. Se dividirmos os dois lados por dois <i>y</i> ao quadrado, o lado esquerdo, podemos reescrever como 1/2 <i>y</i> elevado a menos dois, será igual a -- esqueci o <i>dy</i> -- dy, é igual a <i>dx</i>, e agora podemos integrar os dois lados. Vamos integrar os dois lados. Vou separar mais espaço aqui. Então, o que será esse lado esquerdo? Bem, incrementamos o expoente, e dividimos por esse valor, então <i>y</i> elevado a menos dois, se seu incremento é <i>y</i> elevado a menos um, e então divide por menos um, e isso será -1/2 <i>y</i> elevado a menos um, e poderíamos adicionar um <i>C</i> como fizemos no último vídeo mas teremos um <i>C</i> nos dois lados, e você poderia subtrair, há constantes arbitrárias diferentes nos dois lados e podemos subtraí-las e vou escrever a constante só de um lado. Então temos isso igual a, bem, seu eu integrar apenas <i>dx</i>, isso só me dará <i>x</i>. Então isso aqui é <i>x</i>, e claro que eu posso ter o <i>C</i> aqui, e se eu quero eu posso, posso resolver para <i>y</i> se eu multiplicar, vamos ver, posso multiplicar os dois lados por menos dois, e então terei, no lado esquerdo teremos <i>y</i> elevado a menos um, ou um sobre <i>y</i> é igual a, se eu multiplicar o lado esquerdo por menos dois eu terei menos dois vezes <i>x</i> mais-- bem, é uma constante arbitrária, ainda será menos dois vezes essa constante arbitrária mas eu poderia apenas chamar de constante arbitrária, e se quisermos podemos ter a recíproca para ambos os lados, e teremos <i>y</i> é igual a um sobre menos dois <i>x</i> mais <i>C</i>. E agora podemos usar a informação dada bem aqui, o fato de nossa solução particular precisar passar por esse ponto para resolver <i>C</i>. Então, quando <i>x</i> é menos um. Desculpa, quando <i>x</i> é um, <i>y</i> é menos um, então temos menos um é igual a um sobre menos dois mais <i>C</i>, poderíamos dizer <i>C</i> menos dois, poderíamos multiplicar os dois lados por <i>C</i> menos dois, se for isso, teremos-- na verdade vou descer um pouco-- então se você multiplicar os dois lados por <i>C</i> menos dois, menos um vezes <i>C</i> menos dois será menos <i>C</i> mais dois ou dois menos <i>C</i> é igual a um. Tudo que eu fiz foi multiplicar <i>C</i> menos dois nos dois lados, e então, vamos ver, posso subtrair dois de ambos os lados, menos <i>C</i> é igual a menos um, e então se eu multiplicar ambos os lados por menos um, temos <i>C</i> é igual a um. Então nossa solução particular é <i>y</i> igual a um sobre menos dois <i>x</i> mais um. Estamos quase acabando, não foi perguntado, não perguntamos pela solução particular perguntamos, o que é <i>y</i> quando <i>x</i> é igual a três. <i>y</i> será igual a um sobre-- três vezes menos dois é menos seis-- mais um que é igual a menos-- será igual a um sobre menos cinco ou menos um quinto. E acabamos. Legendado por [Miguel Infante] Revisado por [Sérgio Fleury]
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