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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 6: Cálculo de soluções particulares usando condições iniciais e separação de variáveis- Soluções particulares para equações diferenciais: função racional
- Soluções particulares para equações diferenciais: função exponencial
- Soluções particulares para equações diferenciais
- Exemplo solucionado: como encontrar uma solução específica para uma equação separável
- Exemplo solucionado: equação separável com solução implícita
- Soluções particulares para equações diferenciais separáveis
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Exemplo solucionado: equação separável com solução implícita
Às vezes, a solução de uma equação diferencial separável não pode ser escrita como uma função explícita. Isso não significa que não possamos usá-la!
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Nós temos aqui uma
equação diferencial cosseno de y + 2 dy/dx igual 2x. E sabemos que y(1) é igual a zero. Qual o valor de "x" quando "y" é igual π? A primeira coisa que devemos fazer é separar essa equação diferencial e deixar o dy e os "y" de um lado
e o dx e os "x" de outro lado. Portanto, podemos reescrever essa equação como cosseno de (y + 2) dy igual a 2x dx. Neste caso, agora podemos integrar
de ambos os lados. Integrando de ambos os lados, a antiderivada do cosseno
de "y" vai ser seno de "y" e 2 vai ser mais 2y. Isso vai ser igual a x² e podíamos somar uma constante
de um lado, uma constante do outro, e podemos somar uma constante, apenas, substituindo as duas outras constantes. Para descobrir essa constante, vamos fazer "x" igual a 1
e y(1) é igual a zero. Portanto, o "y" vale zero, temos seno de zero mais 2 vezes zero é igual a 1², mais a constante. Seno de zero é zero, 2 vezes zero é zero, então nós temos zero desse lado. Temos 1 mais a constante, portanto a constante é igual a -1. Agora podemos escrever nossa equação. Nossa equação fica sendo
seno de y + 2y igual a x² -1. Quando "y" for igual a π, nós vamos ter seno de π + 2π é igual x² -1 que é a nossa constante que descobrimos. Seno de π é igual a zero, portanto ficamos com 2π. Vamos passar esse -1 para cá somando, então +1 é igual a x². Finalmente vamos ter que x²
vai ser igual a mais ou menos raiz quadrada de 2π + 1 e terminamos!