Exemplo solucionado: equação separável com solução implícita

RKA1JV - Nós temos aqui uma equação diferencial cosseno de y + 2 dy/dx igual 2x. E sabemos que y(1) é igual a zero. Qual o valor de "x" quando "y" é igual π? A primeira coisa que devemos fazer é separar essa equação diferencial e deixar o dy e os "y" de um lado e o dx e os "x" de outro lado. Portanto, podemos reescrever essa equação como cosseno de (y + 2) dy igual a 2x dx. Neste caso, agora podemos integrar de ambos os lados. Integrando de ambos os lados, a antiderivada do cosseno de "y" vai ser seno de "y" e 2 vai ser mais 2y. Isso vai ser igual a x² e podíamos somar uma constante de um lado, uma constante do outro, e podemos somar uma constante, apenas, substituindo as duas outras constantes. Para descobrir essa constante, vamos fazer "x" igual a 1 e y(1) é igual a zero. Portanto, o "y" vale zero, temos seno de zero mais 2 vezes zero é igual a 1², mais a constante. Seno de zero é zero, 2 vezes zero é zero, então nós temos zero desse lado. Temos 1 mais a constante, portanto a constante é igual a -1. Agora podemos escrever nossa equação. Nossa equação fica sendo seno de y + 2y igual a x² -1. Quando "y" for igual a π, nós vamos ter seno de π + 2π é igual x² -1 que é a nossa constante que descobrimos. Seno de π é igual a zero, portanto ficamos com 2π. Vamos passar esse -1 para cá somando, então +1 é igual a x². Finalmente vamos ter que x² vai ser igual a mais ou menos raiz quadrada de 2π + 1 e terminamos!