Exemplo solucionado: solução exponencial de uma equação diferencial

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos continuar falando a respeito de equações diferenciais e vamos ver que a função exponencial ela pode ser solução de muitas equações por exemplo nós temos aqui a equação dydx = 3 e y e queremos uma solução particular quando o x é igual a um e o y = 2 e eu sugiro que você pode o vídeo e tente resolver isso sozinho e a primeira coisa que nós temos que fazer aqui é resolver essa equação que é uma equação diferencial separável o que significa isso significa que nós conseguimos separar de um lado o de y e o y e do outro o x e o DX e eu posso fazer isso dividindo ambos os membros da equação por y e também multiplicando ambos os membros por de x com isso eu vou ficar fala sobre Y D Y = 3 DX Agora sim nós separamos y e de y em um lado e separamos o destes do outro Claro que a equação não tem um X explícito aqui né mas se tivesse eu também colocaria desse lado e para resolver essa equação eu posso integrar ambos os membros dela e qual é a anti derivada de um sobre y é l e n do módulo de y então aqui l e n do módulo de y é a integral de um sobre y isso porque a derivada dln do módulo de y = 1 sobre y e qual é a integral dessa constante em relação a x é 3x mas uma constante ser porque temos uma integral indefinida e vamos analisar essa igualdade Note que nós podemos reescrevê-la como uma potência basta aplicarmos a d é de logaritmo natural e com isso o módulo de y vai ser igual a elevado a 3x + ser e claro como nós temos uma base e levado a uma soma nós podemos reescrever isso como é elevado a 3x é elevado a ser e como Aqui nós temos uma constante elevado a outra constante o resultado disso vai ser outra constante que após chamar de ser também mas deixando claro que o valor desses e é diferente desse e claro eu só estou fazendo isso porque eu quero conhecer a estrutura da solução geral então isso vai ser igual a ser que multiplica é elevado a 3x e claro Aqui nós temos que o módulo de y = c X elevado a 3 x o que nos diz que nós temos que aplicar a definição de módulo então o y = c vezes é elevado a 3 sim ou menos y = c vezes é elevado a 3x e se multiplicarmos essa equação por menos um nós vamos ficar com y = - 6x é elevado a 3x claro eu não sei qual é o valor de ser se é positivo ou se negativo por isso que eu abri em dois casos Mas nós vamos escolher essa equação aqui ou seja vamos assumir que você seja positivo e o y = 2 quando o x é igual a um deixa eu escrever isso aqui então 2 = C vezes é elevado a 3 porque três vezes um da três e se eu dividir ambos os membros dessa equação por é elevado a 3 nós vamos ter que 2 vezes é elevado a menos 3 porque eu já investi é elevado a 3 AC = C E agora que encontramos ele pô o substituir nessa solução geral para encontrar a solução particular Então vamos ter y = 2x é elevado a menos 3 vezes é elevado a 3x e como Aqui nós temos uma multiplicação de potências com a mesma base nós podemos repetir a base e somar os expoentes então eu vou ter dois vezes é elevado a 3x menos três essa aqui é a solução particular para essa equação diferencial separável e eu espero que essa aula ter te ajudado e até a próxima pessoal