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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 7: Modelos exponenciais com equações diferenciais- Modelos exponenciais e equações diferenciais (Parte 1)
- Modelos exponenciais e equações diferenciais (Parte 2)
- Exemplo solucionado: solução exponencial de uma equação diferencial
- Equações diferenciais: equações de modelos exponenciais
- Equações diferenciais: problemas com modelos exponenciais
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Exemplo solucionado: solução exponencial de uma equação diferencial
A solução da equação diferencial geral dy/dx=ky (para algum valor de k) é C⋅eᵏˣ (para algum valor de C). Veja como isso foi derivado e usado para encontrar uma solução específica de uma equação diferencial.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar falando a respeito de equações diferenciais, e vamos ver que a função exponencial
pode ser solução de muitas equações. Por exemplo, nós temos aqui
a equação dy/dx = 3y. E queremos uma solução particular quando x = 1
e y = 2. E eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver isso sozinho. E a primeira coisa que
nós temos que fazer aqui é resolver esta equação, que é uma equação diferencial separável. O que significa isso? Significa que nós conseguimos
separar de um lado o "dy" e o "y", e do outro o "x" e o "dx". E eu posso fazer isso dividindo ambos
os membros da equação por "y", e multiplicando ambos os membros por "dx". Com isso, eu vou ficar com 1/y dy = 3 dx. Agora, sim, nós separamos
"y" e "dy" em um lado, e separamos o "dx" do outro. Claro que a equação não
tem um "x" explícito aqui, mas se tivesse, eu também
colocaria deste lado. E para resolver esta equação, eu posso integrar
ambos os membros dela. E qual é a antiderivada de 1/y? É "ln" do módulo de "y". Então, aqui "ln" do módulo de "y"
é a integral de 1/y. Isso porque a derivada de "ln"
do módulo de "y" é igual a 1/y. E qual é a integral desta
constante em relação a "x"? É 3x mais uma constante "C", porque temos uma integral indefinida. E vamos analisar esta igualdade? Note que nós podemos
reescrevê-la como uma potência, basta aplicarmos a definição
de logaritmo natural. E, com isso, o módulo de "y"
vai ser igual a "e" elevado a 3x + C. E, claro, como nós temos uma base
elevada a uma soma, nós podemos reescrever isso como
"e" elevado a 3x vezes "e" elevado a "C". E como aqui nós temos uma constante
elevada a outra constante, o resultado disso vai ser outra constante, que eu posso chamar de "C" também, mas deixando claro que o valor
deste "C" é diferente deste. E, claro, eu só estou fazendo isso porque eu quero conhecer
a estrutura da solução geral. Então, isso vai ser igual a "C"
que multiplica "e" elevado a 3x. E, claro, aqui nós temos
que o módulo de "y" é igual a C vezes "e" elevado a 3x. O que nos diz que nós temos
que aplicar a definição de módulo. Então, o "y" é igual a "C"
vezes "e" elevado a 3x, ou "-y" é igual a "C"
vezes "e" elevado a 3x. E se multiplicarmos esta equação por -1, nós vamos ficar com
y = -C vezes "e" elevado a 3x. Claro, eu não sei qual é o valor de "C", se é positivo ou se é negativo, por isso que eu abri em dois casos. Mas nós vamos escolher
esta equação aqui. Ou seja, vamos assumir
que o "C" seja positivo. E o "y" é igual a 2
quando o "x" é igual a 1. Deixe-me rescrever isto aqui. Então, 2 = C vezes "e" elevado a 3, porque 3 vezes 1 dá 3. E se eu dividir ambos os membros
desta equação por "e" elevado a 3, nós vamos ter aqui
2 vezes "e" elevado a -3, porque eu já inverti
o "e" elevado a 3 aqui, igual a "C". E agora que o encontramos, podemos substituir nesta solução geral
para encontrar a solução particular. Então, vamos ter "y" igual a
2 vezes "e" elevado a -3, vezes "e" elevado a 3x. E como aqui nós temos uma multiplicação
de potências com a mesma base, nós podemos repetir a base
e somar os expoentes. Então, eu vou ter
2 vezes "e" elevado a 3x - 3. Esta aqui é a solução particular
para esta equação diferencial separável. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!