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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 7
Lição 7: Modelos exponenciais com equações diferenciais- Modelos exponenciais e equações diferenciais (Parte 1)
- Modelos exponenciais e equações diferenciais (Parte 2)
- Exemplo solucionado: solução exponencial de uma equação diferencial
- Equações diferenciais: equações de modelos exponenciais
- Equações diferenciais: problemas com modelos exponenciais
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Modelos exponenciais e equações diferenciais (Parte 2)
Dada a solução geral P=Ceᵏᵗ e as condições P(0)=100 e P(50)=200, encontramos a solução de um problema de modelagem exponencial.
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Transcrição de vídeo
RKA14C No último vídeo, vimos um modelo
de crescimento populacional. Vimos que, se temos um modelo
de crescimento populacional a certa taxa que seja
proporcional a "P", chegamos ao crescimento populacional
igual a uma constante vezes "e" elevado a uma constante vezes o tempo,
que foi dado em dias. Ou seja, essa é uma função exponencial. Vamos colocar neste vídeo
um exemplo prático. Por exemplo, no instante "t = 0", vamos supor que a população
seja igual a 100. Pode ser 100 mosquitos,
100 pessoas... Pode ser qualquer população de 100. E supor que no instante "t = 50" dias, essa população tenha dobrado, tenha ido para 200 pessoas,
insetos, bactérias, o que quer que seja. Ora, vamos primeiro calcular
quem é a constante "C". Depois, vamos calcular
quem é constante "K". Quando a população é de 100,
nós vamos ter que... A população sendo 100,
ela é igual a: constante "C" vezes "e" elevado a "k" vezes o tempo,
que é zero. Ora, "k" vezes zero é igual a 0. E "e⁰" é igual a 1. Portanto, nós deduzimos
que "C = 100". Agora, para a segunda etapa, nós vamos ter que a população
é igual à constante, que agora já sabemos
que é igual a 100, vezes "eᵏᵗ", e "t", no caso, é 50. A população também foi dada
como sendo 200. Portanto, nós temos
que 200 é igual a: "100 vezes e⁵⁰ᵏ". Podemos simplificar por 100
em ambos os lados. Vamos ter que:
"2 = e⁵⁰ᵏ". Tirando o logaritmo
de ambos os lados, nós vamos ter que o logaritmo
natural (ln) de 2 é igual a... O que significa o logaritmo natural de um determinado número "z" qualquer
igual a "x"? Significa que "eˣ = z". Ora, se "eˣ = z",
quem é "x"? O "x" é logaritmo do "z". Se tivermos "eˡⁿᶻ", esse vai ser o próprio "z". Voltando aqui para
a nossa equação, nós temos que "ln"
de "e⁵⁰ᵏ" vai ser "50k". Portanto, nossa constante "k" vai ser: "ln2 / 50". Podemos já escrever
a nossa equação! A nossa equação geral
fica sendo: a população é igual a
constante, que é 100, vezes "eᵏ", que é "ln2 / 50", vezes o tempo. Podemos ainda mexer nisto aqui. Isso já é uma resposta, uma vez que "ln2 / 50"
é um número. Então, isso tudo está
em função do tempo. Podemos escrever a mesma
resposta de outra forma. Ou seja, a população de 100... Utilizando a propriedade do expoente, nós temos "eˡⁿ²", "t / 50". Mas quem é "eˡⁿ²"? É 2. Portanto, temos que: "P = 100 vezes 2⁽ᵗ / ⁵⁰⁾". E terminamos!