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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 2
Lição 1: Definição das taxas de mudança média e instantânea em um ponto- Newton, Leibniz e Usain Bolt
- Derivada como um conceito
- Retas secantes e taxa de variação média
- Retas secantes e taxa de variação média
- Revisão da notação de derivadas
- Derivada como coeficiente angular da curva
- Derivada como coeficiente angular da curva
- A derivada e equações da reta tangente
- A derivada e equações da reta tangente
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Derivada como coeficiente angular da curva
Neste vídeo, resolvemos uma porção de problemas em que interpretamos a derivada de uma função em um ponto como o coeficiente angular da curva, ou da reta tangente à curva, naquele ponto.
Quer participar da conversa?
- olá, por favor traduzam esses vídeo aulas.
pois já é muito difícil essa matéria em português imagina em inglês.(11 votos) - não consigo entender porque delta x é igual 1 aos(dois minutos e 18 segundos) do vídeo. f(x) não é 5? por que 1? Não entendi nada! 2:18(2 votos)
- Saudações, espero que já tenha superado isso, contudo, se ainda não compreendeu, vou tentar explicar, observe que o primeiro ponto tem coordenadas (x,y), respectivamente (5,5) o segundo, (6,7), delta x = 6-5 =1, é a coordenada do segundo ponto menos a coordenada do primeiro, acredito que você também pode pensar nisso como a diferença entre as respectivas coordenadas, observe: delta y= 7-5=2, espero ter ajudado!(6 votos)
- I understood the estmative but the slope of the curve shouldn't be precisely calculated instead of being estimated by a scratch in the graph, or he just uses that to explain better the concept ?(3 votos)
- Eu acredito que não seja necessário fazer isto, de calcular precisamente, nestes específicos exercícios. Como você pode ver ele estimou a respondeu tudo certo sem nenhum problema. E sim, ele também sáb ter feito desta forma mais didática e de fácil entendimento, já que é um vídeo mais introdutório. Abraços!(6 votos)
- Por que não dá pra acelerar esse vídeo?(0 votos)
- Dá sim, Matheus. (No Firefox) É só clicar com o botão direito do mouse em cima do vídeo, e depois ir em velocidade de reprodução.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA14C Estime f'(5). Aqui nós temos o gráfico
de uma função em que y = f(x). O que esse exemplo está nos pedindo é para fazer uma estimativa da derivada dessa função nesse ponto x = 5. Bem, antes de fazer essa estimativa, a gente precisa relembrar
o que é uma derivada. Tecnicamente, a gente pode dizer que a derivada indica a inclinação
da reta tangente em um ponto, neste caso aqui, no ponto x = 5. Então, podemos até escrever isso aqui. A derivada indica o quê? A inclinação da reta tangente em x = 5
neste caso aqui. Só que, além de a derivada indicar
a inclinação da reta tangente, ela também indica para a gente
a taxa de variação da função, que, neste caso é y,
em relação a x. Então, podemos também dizer que a derivada indica a taxa de variação
de y em relação a x. Para esta função, obviamente. Então, a derivada pode indicar
estas duas coisas: a inclinação da reta tangente em x = 5, e também a taxa de variação de y
em relação a x para essa função. O que nós queremos aqui é determinar
a derivada para essa função... Determinar não, estimar a derivada para essa função nesse ponto x = 5. Então, vamos partir daqui,
deste ponto, em que a derivada indica a inclinação
da reta tangente nesse ponto. Se a gente traçar aqui uma reta tangente... Se a gente traçar aqui uma
reta tangente a esse ponto, a gente vai encontrar algo mais ou menos parecido com isto aqui. Essa reta tangente está passando aqui
neste ponto desta forma. Como então a gente consegue
determinar a inclinação dessa reta tangente? Utilizando esta ideia aqui,
que a derivada indica a taxa de variação de y em relação a x. A gente pode observar essa reta tangente, por exemplo, e ver o quanto o y vai variar à medida que a gente altera o x. Então, por exemplo, se a gente fizer uma variação aqui em relação a x, a gente vai ter um Δx = 1. A gente vai observar a variação que ocorreu daqui até aqui no eixo y. Então, a gente vai ter um Δy aqui. Qual vai ser a nossa variação no eixo y? Bem, vai ser: 1, 2. Então, vai ser igual a 2. Se a gente quer calcular a taxa de variação de y em relação a x, basta dividir o Δy com o Δx. Assim, a gente vai encontrar
a taxa de variação de y em relação a x. Δy = 2, então, a gente vai ter 2 dividido por Δx,
que é igual a 1. 2 dividido por 1 = 2. Então, o 2 indica para a gente a inclinação da reta tangente nesse ponto x = 5, e também indica a taxa de variação
de y em relação a x. A resposta certa seria o 2, ok? Bem, essa foi uma boa estimativa, mas vamos observar os outros aqui
para ter certeza que essa é uma boa alternativa para a gente. Para a gente encontrar uma derivada tendo como resposta o -2, a gente teria que ter uma
inclinação negativa, e não positiva. Seria uma inclinação deste lado aqui. Se a gente calculasse a inclinação
da reta tangente nesse ponto x = -5, a gente encontraria uma
inclinação negativa sendo igual a -2. Agora, se a gente quisesse
uma inclinação igual a 0,1, essa inclinação seria muito pequena. Seria algo muito próximo de zero. Seria uma inclinação
muito pequenininha mesmo. Por outro lado, para uma inclinação
sendo igual a -0,1, a gente teria quase a mesma coisa, mas aqui do outro lado,
como uma inclinação negativa. É quase horizontal,
mas chega a ser um pouco inclinado. Se a gente quisesse
uma derivada sendo igual a zero, teria que encontrar um ponto
em que a inclinação da reta tangente fosse igual a zero. Ou seja, uma reta horizontal,
e isto seria aqui no x = 0, porque, nesse ponto, a gente
teria uma reta horizontal. Ok? Então, todas essas outras
não estão de acordo com a inclinação dessa reta, que é tangente a esse ponto x = 5. Vamos ver um outro exemplo agora. Compare a derivada da função em x = 4 com a derivada da função em x = 6. Então, a gente quer saber, por exemplo, se a derivada da função no ponto x = 4 é maior ou menor que
a derivada da função no ponto x = 6. Novamente, a gente pode fazer isso
se aproveitando da ideia da derivada indicar a inclinação
da reta tangente em um ponto, e também utilizar a ideia
da variação de y em relação a x. Vamos lá! A primeira coisa que
nós podemos fazer aqui é representar a reta tangente
que passa nesse ponto. Então, seria mais ou menos isto aqui. Estaria mais ou menos passando por aqui. Então, esta aqui seria a reta tangente
passando nesse ponto. Se a gente quiser determinar novamente a inclinação dessa reta tangente, a gente consegue por meio da taxa
de variação de y em relação a x. Se você observar daqui até aqui, a gente vai ter uma variação
no eixo x sendo igual a 1, e aqui uma variação no eixo y
sendo igual a -1. A gente vai ter -1 dividido por 1. Então, g'(x) no ponto x = 4 vai ser aproximadamente igual a -1. Agora a gente também pode pegar e traçar a reta tangente a esse ponto x = 6. Então, a gente traça mais ou menos
deste jeito aqui. Claro, isto aqui é apenas uma aproximação. Mas é mais ou menos aqui, desta forma, que está a reta tangente a esse ponto. A gente pode fazer a mesma coisa
que a gente fez antes. Então, a gente traça aqui
a variação no eixo x, que foi igual a 1. E aqui a gente vê a variação
que ocorreu no eixo y, que, neste caso aqui, foi igual a -3. Então, a derivada da função g'(x)
nesse ponto x = 6 vai ser igual à variação do eixo y,
que foi igual -3 dividida pela variação do eixo x,
que foi igual a 1. Então, a derivada vai ser
aproximadamente igual a -3. Se você observar, a gente tem
um valor aqui maior que esse, certo? Então, a derivada de g'(x)
nesse ponto x = 4, é maior que a derivada
dessa função no ponto x = 6. A resposta certa seria esta aqui, a maior. Obviamente que você poderia fazer isso
de forma intuitiva também. Não precisaria fazer isto aqui. Se você observar aqui, deste lado, que é a mesma coisa que deste lado aqui, inicialmente, a gente começa
com uma inclinação sendo igual a zero, aqui em cima. A gente tem uma reta tangente horizontal. À medida que o x avança, essa reta vai ficando cada vez mais
inclinada no sentido do y negativo. Ou seja, a inclinação
está ficando cada vez menor, cada vez mais negativa,
até chegar a este ponto aqui. Mas, à medida que
a gente passa pelo y = 0, ela vai se tornar cada vez menos negativa, até passar neste outro ponto, em que a reta tangente
tem uma inclinação igual a 0. Depois, vai se tornar
cada vez menos negativa, ou seja, a inclinação vai aumentando. Mas, como a gente tem aqui
dois pontos acima do y = 0, neste caso, daqui até aqui, a gente vai ter uma inclinação
ficando cada vez menor até chegar aqui no y = 0. Então, como a inclinação
vai ficando cada vez menor, a inclinação aqui,
neste ponto x = 4, é maior do que a inclinação
neste ponto x = 6.