Newton, Leibniz e Usain Bolt

essa é uma foto do famoso matemático e físico britânico isaac newton e essa daqui é uma foto de gottfried lines ele também foi famoso mas também não tão famoso quanto deveria ser e ele era um filósofo e matemático alemão contemporâneo e isaac newton nós consideramos hoje que esses dois cavaleiros foram juntos os fundadores do cálculo e eles fizeram a maior parte de todo o seu trabalho no final do século 17 e se outro aqui é o usain bolt o corredor jamaicano que continua a fazer alguns de seus maiores trabalhos e é considerado atualmente o ser humano mais rápido que existe provavelmente o ser humano mais rápido que já viu talvez você não consiga ver uma associação entre os trabalhos desses três cavaleiros você pode pensar até que eles não têm muitas coisas em comum mas todos eles eram obcecados com as mesmas questões fundamentais e que essa é a mesma questão aqui o cálculo diferencial nos leva qual é a taxa de variação instantânea de algo no caso do rio samba de quão rápido ele está indo agora não é apenas a média de sua velocidade no último segundo ou a sua velocidade média ao longo dos 10 segundos eu estou perguntando é quão rápido ele está se movimentando nesse exato momento então é sobre isso que o cálculo diferencial fala a taxa de variação instantânea o tema original que isaac newton utilizou para o cálculo diferencial é o método das funções e que soa até como algo mais sofisticado mas tudo isso é sobre o que está acontecendo neste exato momento ou seja em um certo instante específico e pelo fato de esse problema não se há algo muito simples de resolver tal como álgebra tradicional eu vou desenhar um gráfico aqui nesse eixo y eu tenho a distância e digo que y é igual à distância eu poderia até colocar do deic de distância mas a gente vai ver mais à frente principalmente relacionado ao cálculo que a letra de reservado para outra coisa então vamos dizer que y é igual à distância e nesse outro isso aqui no eixo x nós temos o tempo eu posso até dizer que tenha igual ao tempo mas eu vou usar israel igual ao tempo se a gente quiser esboça distância de usando ti em função do tempo bem no tempo 0 ele não foi alugar nenhuma renda certo então ele vai estar bem ali e nós sabemos que esse cara é capaz de correr 100 metros em 9,58 segundos cara estamos assumindo que esse tempo está sendo medido em segundos então usando essa informação nós podemos descobrir sua velocidade média para determinar a velocidade média de usain bolt basta apenas dividir a avaliação da gestão se á com a variação no tempo usando essas variáveis aqui nós podemos colocar delta y sobre delta x em que delta y é a variação da distância e delta x ea variação do tempo eu sei que isso é algo bem familiar pra você que já estudou a álgebra básica afinal isso aqui é a inclinação de uma reta a inclinação da reta que liga esses dois pontos bem a variação da distância está bem aqui a variação y é igual a 100 metros ea nossa variação do tempo também está aqui que é igual a 9,58 segundos afinal nós começamos em um tempo 0 e fomos até o tempo igual a 9,58 segundos então nós vamos ter aqui 100 metros sobre 9,58 segundos a inclinação da reta que ele esses dois pontos é essencialmente apenas a taxa de variação ou você pode ver como a média da taxa de variação entre os dois pontos trabalhando com as unidades você vai ver que a gente vai ter uma unidade de medida de velocidade é que especificam a direção e o sentido do vetor velocidade nós podemos descobrir quanto isso será então vamos lá vamos fazer esse cálculo você pode fazer até na calculadora aí se a gente fizer sem / 9,58 segundos nós vamos ter algo por volta de 10,4 aproximadamente 10,4 metros por segundo e essa é a velocidade média o que nós vamos ver agora é como a velocidade média de férias da instantânea ou seja diferença da velocidade que ele pode está a qualquer momento se você quiser saber quantos metros ele percorre em uma hora em uma hora nós temos três mil e seiscentos segundo certo então ele será capaz de percorrer é essa distância três mil e 600 vezes então supondo que ele consiga manter essa velocidade por uma hora ele vai conseguir percorrer tantos metros nessa hora e aí isso vai informar pra gente o quão rápido ele está se movimentando a cada hora e se você quisesse saber em milhas por hora por exemplo e sabendo que uma milha tem aproximadamente 1.600 metros não sei exatamente o número mas vamos supor que seja 1.600 metros então a gente vai pegar esse valor aqui e dividir por 1.600 chegamos a um resultado um pouco maior que 23 algo perto de 23 milhas e meia por ora então nós temos 23,5 milhas por hora isso é algo próximo a velocidade de um carro não tanto próximo à minha velocidade algo extremamente rápido agora só pra você notar diferença da velocidade média com a velocidade instantânea vamos pensar em uma idéia de potencial e vamos esboça essa distância relativa ao tempo nós sabemos que usain bolt não vai partir com essa velocidade imediatamente ele não vai simplesmente atingir essa velocidade assim que a arma foi disparada dando início da largada ele vai ter que passar por um processo de aceleração e ele também não vai manter essa velocidade por todo o percurso então inicialmente ele vai começar um pouco mais devagar por esse motivo a inclinação será um pouco mais baixa do que a inclinação média e aí aos poucos ele vai começar a acelerar e com isso você vai ver que essa curva que indica a velocidade vai ficando cada vez mais inclinada e aí talvez lá perto do fim ele fica um pouco cansado e aí talvez a distância por tempo pode ser uma curva que se pareça com isso aqui o que calculamos aqui é apenas a inclinação média durante essa variação de tempo e nós percebemos que em qualquer dado momento a inclinação é na verdade diferente no começo ele tem uma variação de distância mais lenta então aqui quando ele acelera sua variação de distância será mais ou menos parecida com inclinação tangente nesse ponto e aí vai parecer maior do que a velocidade média e aí ele vai começar a desacelerar novamente chega numa velocidade menor do que a gente calculou eu cheguei a procurar agora a velocidade instantânea de usain bolt ea velocidade instantânea de pico dele é na verdade perto de 30 milhas por hora então a inclinação aqui pode até ser de 23,5 milhas por hora mas instantaneamente seu ponto mais veloz nesses 9,58 segundos é na realidade perto de 30 milhas por hora mas você pode até perceber que não é uma coisa trivial de se fazer você pode dizer ok deixa eu tentar por ser uma inclinação bem aqui e isso pode ser feito simplesmente falando o seguinte ó que qual é a variação de y sobre avaliação de x nesse ponto você pode perceber que tomando a variação de x e descobrindo qual é a avaliação de y nós podemos fazer uma aproximação dividindo a variação de x pela variação de y sobre aquele ponto ou quando passamos por ele mas como eu disse isso é uma aproximação porque você nota que a inclinação dessa curva está mudando o tempo todo então o que você quer fazer é ver o que acontece quando a variação de x vai ficando cada vez menor e à medida que a sua variação de x diminui você consegue uma aproximação cada vez melhor e com isso claro a variação de y ficará também menor então a gente foi estudar isso aqui a fundo a gente vai precisar fazer o limite de delta x tendendo a zero da variação de y sobre a variação de x e quando você faz isso você se aproxima da taxa é instantânea da avaliação e aí você vai poder ver a inclinação instantânea naquele ponto específico da curva ou para ser mais específico a inclinação da reta tangente naquele ponto da curva usando a terminologia do cálculo a gente ver isso daqui como derivada ou seja a inclinação instantânea da reta tangente em um ponto da curva é a derivada e anotação que usamos para derivada é de y sobre the xx e é por isso que eu não usei a letra de antes como isso se relaciona com a palavra diferencial nós utilizamos esse de por se tratar de uma diferencial ou seja de y e de x são diferenciais e isso é uma forma de falar que se trata de uma variação ipi tese mal ou seja algo muito muito muito pequeno de y sobre algo muito muito pequeno de x tomando essas variações super pequenas de y sobre uma variação muito pequena de x nós somos capazes de determinar a inclinação instantânea ou como no caso desse exemplo a velocidade instantânea de usain bolt naquele exato momento e perceba que você não pode simplesmente por 10 aqui se você simplesmente colocar uma variação em 1 x 1 e igual a zero você terá algo indefinido já que a gente não pode dividir nada por 0 então é por isso que nós tomamos o limite de delta x tendendo a zero e é sobre isso que nós vamos falar um pouco mais nos próximos vídeos