Newton, Leibniz e Usain Bolt

RKA1JV - Essa é uma foto do famoso matemático, e físico britânico Isaac Newton. E aqui é uma foto de Gottfried Leibniz. Ele também foi famoso, mas não tão famoso quanto deveria ser. E ele era um filósofo e matemático alemão contemporâneo de Isaac Newton. Nós consideramos hoje que esses dois cavalheiros foram, juntos, os fundadores do cálculo. E eles fizeram a maior parte de todo o seu trabalho no final do século 17. Esse outro aqui é o Usain Bolt, o corredor jamaicano que continua a fazer alguns de seus maiores trabalhos. E é considerado, atualmente, o ser humano mais rápido que existe, provavelmente, o ser humano mais rápido que já viveu. Talvez você não consiga ver uma associação entre os trabalhos desses três cavalheiros. Você pode pensar até que eles não têm muitas coisas em comum. Mas todos eles eram obcecados com a mesmas questões fundamentais. e que essa é a mesma questão a que o cálculo diferencial nos leva. Qual é a taxa de variação instantânea de algo? No caso do Usain Bolt, quão rápido ele está indo agora? Não é apenas a média de sua velocidade no último segundo ou a sua velocidade média ao longo dos 10 segundos. Eu estou perguntando quão rápido ele está se movimentando nesse exato momento. É sobre isso que o cálculo diferencial fala. A taxa de variação instantânea. O tema original que Isaac Newton utilizou para o cálculo diferencial é o método das funções. E que soa até como algo mais sofisticado. Mas tudo isso é sobre o que está acontecendo neste exato momento, ou seja, em um certo instante específico. Pelo fato desse problema não ser algo muito simples de resolver, tal como álgebra tradicional, eu vou desenhar um gráfico aqui. Neste eixo "y", eu tenho a distância e digo que "y" é igual à distância. Eu poderia até colocar o "d" de distância. Mas a gente vai ver mais à frente, principalmente relacionado ao cálculo, que a letra "d" é reservada para outra coisa. Vamos dizer que "y" é igual à distância. E nesse outro eixo aqui, no eixo "x", nós temos o tempo. Eu posso até dizer que "t" é igual ao tempo, mas eu vou usar que "x" é igual ao tempo. Se a gente quiser esboçar a distância de Usain Bolt em função do tempo, bem no tempo zero, ele não foi a lugar nenhum ainda. Ele vai estar bem ali. E nós sabemos que esse cara é capaz de correr 100 metros em 9,58 segundos, estamos assumindo que esse tempo está sendo medido em segundos. Usando essa informação, nós podemos descobrir sua velocidade média. Para determinar a velocidade média de Usain Bolt, basta apenas dividir a variação da distância pela variação no tempo. Usando essas variáveis aqui, nós podemos colocar Δy sobre Δx em que Δy é a variação da distância e Δx é a variação do tempo. Eu sei que isso é algo bem familiar para você que já estudou a álgebra básica. Afinal, isso aqui é a inclinação de uma reta. A inclinação da reta que liga esses dois pontos. A variação da distância está bem aqui, a variação em "y" é igual a 100 metros. E a nossa variação do tempo também está aqui, que é igual a 9,58 segundos. Afinal, nós começamos em um tempo zero e fomos até o tempo igual a 9,58 segundos. Nós vamos ter aqui 100 metros sobre 9,58 segundos. A inclinação da reta que liga esses dois pontos é essencialmente apenas a taxa de variação. Ou você pode ver como é a média da taxa de variação entre os dois pontos. Trabalhando com as unidades, você vai ver que a gente vai ter uma unidade de medida de velocidade aqui Especificando a direção e o sentido do vetor velocidade, nós podemos descobrir quanto isso será. Vamos lá, vamos fazer esse cálculo. Você pode fazer até na calculadora. Se a gente fizer 100 dividido por 9,58 segundos, nós vamos ter algo por volta de 10,4, aproximadamente 10,4 metros por segundo. E essa é a velocidade média. O que nós vamos ver agora é como a velocidade média difere da instantânea. Ou seja, a diferença da velocidade que ele pode estar a qualquer momento. Se você quiser saber quantos metros ele percorre em uma hora, em uma hora, nós temos 3.600 segundos. Ele será capaz de percorrer essa distância 3.600 vezes. Supondo que ele consiga manter essa velocidade por uma hora, ele vai conseguir percorrer tantos metros nessa hora. E isso vai informar para a gente o quão rápido ele está se movimentando a cada hora. E se você quisesse saber em milhas por hora, por exemplo, e sabendo que uma milha tem, aproximadamente, 1.600 metros. Não sei exatamente o número. Mas vamos supor que seja 1.600 metros. A gente vai pegar esse valor aqui e dividir por 1.600, chegamos a um resultado um pouco maior que 23, algo perto de 23,5 milhas por hora. Nós temos 23,5 milhas por hora, isso é algo próximo à velocidade de um carro. Não tão próximo à minha velocidade, algo extremamente rápido. Agora só para você notar a diferença da velocidade média com a velocidade instantânea, vamos pensar em uma ideia de potencial. Vamos esboçar essa distância relativa ao tempo. Nós sabemos que Usain Bolt não vai partir com essa velocidade imediatamente. Ele não vai simplesmente atingir essa velocidade assim que a arma for disparada, dando início à largada. Ele vai ter que passar por um processo de aceleração e ele também não vai manter essa velocidade por todo o percurso. Inicialmente, ele vai começar um pouco mais devagar. Por esse motivo, a inclinação será um pouco mais baixa do que a inclinação média. Aos poucos, ele vai começar a acelerar e, com isso, você vai ver que essa curva que indica a velocidade vai ficando cada vez mais inclinada. E, talvez, lá perto do fim, ele fique um pouco cansado. Talvez a distância por tempo pode ser uma curva que se pareça com isso aqui. O que calculamos aqui é apenas a inclinação média durante essa variação de tempo. E nós percebemos que, em qualquer dado momento, a inclinação é, na verdade, diferente. No começo, ele tem uma variação de distância mais lenta, então aqui quando ele acelera, sua variação de distância será mais ou menos parecida com a inclinação tangente nesse ponto. E vai parecer maior do que a velocidade média e ele vai começar a desacelerar, novamente, chegando numa velocidade menor do que a gente calculou. Eu cheguei a procurar agora a velocidade instantânea de Usain Bolt e a velocidade instantânea de pico dele é, na verdade, perto de 30 milhas por hora. A inclinação aqui pode até ser de 23,5 milhas por hora, mas, instantaneamente, seu ponto mais veloz nesses 9,58 segundos é, na realidade, perto de 30 milhas por hora. Mas você pode até perceber que não é uma coisa trivial de se fazer. Você pode dizer: "Ok, deixe-me tentar aproximar a inclinação bem aqui". E isso pode ser feito, simplesmente, falando o seguinte: qual é a variação de "y" sobre a variação de "x" nesse ponto? Você pode perceber que, tomando a variação de "x" e descobrindo qual é a variação de "y", nós podemos fazer uma aproximação dividindo a variação de "x" pela variação de "y" sobre aquele ponto ou quando passamos por ele. Mas, como eu disse, isso é uma aproximação, porque você nota que a inclinação dessa curva está mudando o tempo todo. Então, o que você quer fazer é ver o que acontece quando a variação de "x" vai ficando cada vez menor. E, à medida que a sua variação de "x" diminui, você consegue uma aproximação cada vez melhor. Com isso, claro, a variação de "y" ficará também menor. Se a gente for estudar isso aqui a fundo, a gente vai precisar fazer o limite de Δx tendendo a zero da variação de "y" sobre a variação de "x". Quando você faz isso, você se aproxima da taxa instantânea da variação. E você vai poder ver a inclinação instantânea naquele ponto específico da curva. Ou para ser mais específico, a inclinação da reta tangente naquele ponto da curva. Usando a terminologia do cálculo, a gente vê isso aqui como derivada. Ou seja, a inclinação instantânea da reta tangente em um ponto da curva é a derivada, e anotação que usamos para derivada é dy sobre dx. E é por isso que eu não usei a letra "d" antes. Como isso se relaciona com a palavra diferencial, nós utilizamos esse "d" por se tratar de uma diferencial, ou seja, dy e dx são diferenciais. E isso é uma forma de falar que se trata de uma variação infinitesimal. Ou seja, algo muito, muito, muito pequeno de "y" sobre algo muito muito pequeno de "x". Tomando essas variações super pequenas de "y" sobre uma variação muito pequena de "x", nós somos capazes de determinar a inclinação instantânea. Ou, como no caso desse exemplo, a velocidade instantânea Usain Bolt naquele exato momento. Perceba que você não pode simplesmente por um zero aqui, se você simplesmente colocar uma variação em um "x" igual a zero, você terá algo indefinido. Já que a gente não pode dividir nada por zero. Por isso que nós tomamos o limite de Δx tendendo a zero. E é sobre isso que nós vamos falar um pouco mais nos próximos vídeos.