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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 2
Lição 1: Definição das taxas de mudança média e instantânea em um ponto- Newton, Leibniz e Usain Bolt
- Derivada como um conceito
- Retas secantes e taxa de variação média
- Retas secantes e taxa de variação média
- Revisão da notação de derivadas
- Derivada como coeficiente angular da curva
- Derivada como coeficiente angular da curva
- A derivada e equações da reta tangente
- A derivada e equações da reta tangente
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Retas secantes e taxa de variação média
Entenda a taxa média de variação e sua relação com a inclinação de uma reta secante.
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RKA3JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos falar
de taxa de variação média e de retas secantes. E, para isso, eu tenho o gráfico
de uma função "y = x²" que é a parte de uma parábola. Então, nós vamos ver
a taxa de variação média de "y" em relação a "x", no intervalo de 1 até 3. Então, nós queremos saber
a taxa de variação média no intervalo fechado [1, 3]. E por ser um intervalo fechado, o "x" também pode ser 1 ou pode ser 3. Eu posso calcular o valor destes extremos
sem consultar o gráfico. Deixe-me colocar uma tabela. Aqui nós vamos ter o "x",
e aqui o valor de "y = x²". E quando "x = 1", nós vamos ter que o "y" vai ser igual a 1²
que vai ser igual a 1. E você pode ver isso no gráfico. Aqui é o ponto [1, 1]. E quando "x" valer 3, nós vamos ter que "y = 3²",
que é 9. Para descobrir a variação aqui
fica bem fácil. A variação em "x" vai ser igual a 2, isso porque de 1 para 3
variou 2 unidades. E qual vai ser a variação de "y"
no mesmo intervalo? De 1 para 9 variaram 8 unidades. Portanto, a variação no "y" é igual a 8. Então, qual é a taxa de variação média? Isso vai ser a mesma coisa que
a variação em "y" dividida pela variação em "x". E a variação em "y" é igual a 8 unidades e a variação em "x" é igual a 2 unidades e 8 dividido por 2 é igual a 4. Esta é a variação média
para este intervalo aqui. Ou seja, toda vez que o "x"
aumenta uma unidade, o "y" aumenta 4 unidades. E para você ter uma ideia geométrica
de como calculamos isso, nós observamos a nossa mudança em "x", e descobrimos a nossa variação em "y", e, com isso, utilizamos a trigonometria para calcular a mudança de "y"
em relação à mudança de "x". Bem, isso que eu falei
é algo bastante comum quando estamos falando
de inclinação de uma reta conectada a dois pontos. Nós, realmente, fazemos deste jeito. Ou seja, nós traçamos uma reta secante passando por estes 2 pontos, e, basicamente, nós calculamos
a inclinação desta reta secante. Portanto, a taxa de variação média
neste intervalo é a mesma coisa que
a inclinação desta secante. E se nós olharmos para ela e comparar com esta curva aqui, com esta parábola dentro deste intervalo, você consegue ter uma ideia intuitiva do por que chamamos
de taxa média de variação. Porque se você olhar
na parte inicial do intervalo, você vai ver que a secante está
aumentando a uma taxa mais rápida, mas quando estamos nos aproximando do 3, parece que a nossa curva está
aumentando a uma taxa mais rápida. E logo em seguida, a curva
e a reta secante se encontram. É por isso que a secante
é a taxa de variação média, ela é a variação em cada ponto. Mas será que é exatamente
a mudança em cada ponto? Absolutamente, não. Se você perceber, a taxa de variação
da curva muda constantemente, começa com uma taxa
de variação mais lenta, mas de repente começa a aumentar
de uma forma mais rápida à medida que o "x"
se aproxima do 3. Mas, claro, neste intervalo a mudança
de "y" em relação a "x" é a mesma. Mas aí você pode se perguntar: por que estamos estudando
isso em uma aula de cálculo? Você trabalha com taxas de variações em diversos ramos da matemática, mas o que eu quero mostrar para vocês é que essa é uma das ideias
mais fundamentais do cálculo. Isso porque, o que acontece
quando estes pontos vão se aproximando cada vez mais do 3? Nós calculamos a taxa de variação
do ponto [1, 1] até o ponto [3, 9]. Mas o que acontece com a taxa de variação do intervalo [2, 4]
até [3, 9]? Você deve calcular esta inclinação aqui. E se você quisesse calcular a variação de uma linha secante mais
próxima ao ponto [3, 9]? Por exemplo, se você
quisesse calcular aqui a taxa de variação da reta secante que passa pelo ponto [2,5, 6,25]
até [3, 9]? Se você for chegando
cada vez mais próximo do 3, você vai encontrando secantes
ou inclinações mais próximas da tangente "x = 3". E se conseguirmos descobrir
a inclinação desta tangente, isso vai ser bem legal para a gente. Porque aí não estamos mais falando de taxa de variação média, nós estamos falando de taxa
de variação instantânea. E esta é uma das ideias
centrais do cálculo. É o que chamamos de derivada. E, claro, mais à frente nós vamos
estudar este conceito com mais calma. Mas, basicamente, a taxa de
variação média entre dois pontos é a mesma coisa que
a inclinação da reta secante. E conforme estes pontos vão
ficando cada vez mais próximos, a reta secante está ficando
mais próxima da reta tangente. É aí que utilizamos a derivada. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!