Retas secantes e taxa de variação média

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos falar de taxa de variação média e de retas secantes. E, para isso, eu tenho o gráfico de uma função "y = x²" que é a parte de uma parábola. Então, nós vamos ver a taxa de variação média de "y" em relação a "x", no intervalo de 1 até 3. Então, nós queremos saber a taxa de variação média no intervalo fechado [1, 3]. E por ser um intervalo fechado, o "x" também pode ser 1 ou pode ser 3. Eu posso calcular o valor destes extremos sem consultar o gráfico. Deixe-me colocar uma tabela. Aqui nós vamos ter o "x", e aqui o valor de "y = x²". E quando "x = 1", nós vamos ter que o "y" vai ser igual a 1² que vai ser igual a 1. E você pode ver isso no gráfico. Aqui é o ponto [1, 1]. E quando "x" valer 3, nós vamos ter que "y = 3²", que é 9. Para descobrir a variação aqui fica bem fácil. A variação em "x" vai ser igual a 2, isso porque de 1 para 3 variou 2 unidades. E qual vai ser a variação de "y" no mesmo intervalo? De 1 para 9 variaram 8 unidades. Portanto, a variação no "y" é igual a 8. Então, qual é a taxa de variação média? Isso vai ser a mesma coisa que a variação em "y" dividida pela variação em "x". E a variação em "y" é igual a 8 unidades e a variação em "x" é igual a 2 unidades e 8 dividido por 2 é igual a 4. Esta é a variação média para este intervalo aqui. Ou seja, toda vez que o "x" aumenta uma unidade, o "y" aumenta 4 unidades. E para você ter uma ideia geométrica de como calculamos isso, nós observamos a nossa mudança em "x", e descobrimos a nossa variação em "y", e, com isso, utilizamos a trigonometria para calcular a mudança de "y" em relação à mudança de "x". Bem, isso que eu falei é algo bastante comum quando estamos falando de inclinação de uma reta conectada a dois pontos. Nós, realmente, fazemos deste jeito. Ou seja, nós traçamos uma reta secante passando por estes 2 pontos, e, basicamente, nós calculamos a inclinação desta reta secante. Portanto, a taxa de variação média neste intervalo é a mesma coisa que a inclinação desta secante. E se nós olharmos para ela e comparar com esta curva aqui, com esta parábola dentro deste intervalo, você consegue ter uma ideia intuitiva do por que chamamos de taxa média de variação. Porque se você olhar na parte inicial do intervalo, você vai ver que a secante está aumentando a uma taxa mais rápida, mas quando estamos nos aproximando do 3, parece que a nossa curva está aumentando a uma taxa mais rápida. E logo em seguida, a curva e a reta secante se encontram. É por isso que a secante é a taxa de variação média, ela é a variação em cada ponto. Mas será que é exatamente a mudança em cada ponto? Absolutamente, não. Se você perceber, a taxa de variação da curva muda constantemente, começa com uma taxa de variação mais lenta, mas de repente começa a aumentar de uma forma mais rápida à medida que o "x" se aproxima do 3. Mas, claro, neste intervalo a mudança de "y" em relação a "x" é a mesma. Mas aí você pode se perguntar: por que estamos estudando isso em uma aula de cálculo? Você trabalha com taxas de variações em diversos ramos da matemática, mas o que eu quero mostrar para vocês é que essa é uma das ideias mais fundamentais do cálculo. Isso porque, o que acontece quando estes pontos vão se aproximando cada vez mais do 3? Nós calculamos a taxa de variação do ponto [1, 1] até o ponto [3, 9]. Mas o que acontece com a taxa de variação do intervalo [2, 4] até [3, 9]? Você deve calcular esta inclinação aqui. E se você quisesse calcular a variação de uma linha secante mais próxima ao ponto [3, 9]? Por exemplo, se você quisesse calcular aqui a taxa de variação da reta secante que passa pelo ponto [2,5, 6,25] até [3, 9]? Se você for chegando cada vez mais próximo do 3, você vai encontrando secantes ou inclinações mais próximas da tangente "x = 3". E se conseguirmos descobrir a inclinação desta tangente, isso vai ser bem legal para a gente. Porque aí não estamos mais falando de taxa de variação média, nós estamos falando de taxa de variação instantânea. E esta é uma das ideias centrais do cálculo. É o que chamamos de derivada. E, claro, mais à frente nós vamos estudar este conceito com mais calma. Mas, basicamente, a taxa de variação média entre dois pontos é a mesma coisa que a inclinação da reta secante. E conforme estes pontos vão ficando cada vez mais próximos, a reta secante está ficando mais próxima da reta tangente. É aí que utilizamos a derivada. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!