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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 2
Lição 11: Como calcular as derivadas das funções tangente, cotangente, secante e/ou cossecanteDerivadas de tg(x) e cotg(x)
Neste vídeo, calculamos as derivadas de tg(x) e cotg(x) escrevendo-as como quocientes de sen(x) e cos(x) e usando a regra do quociente.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Neste vídeo, vamos através do
conhecimento da derivada de duas funções, tipo derivada do sen(x)/dx conhecemos que é cos(x)
por vídeos anteriores. E a derivada do cos(x)/dx é igual a -sen(x). O que significa isso? A função cos(x) vai nos dar a inclinação da função sen(x) para quaisquer valores de "x". E a função -sen(x) vai nos dar a inclinação da função cos(x) para quaisquer valores de "x". Vamos supor que queremos saber a derivada da tg(x)/dx. E queremos saber, também,
a derivada da função cotg(x)/dx. Vamos usar a regra do quociente. Aqui, nós sabemos que a derivada da tg(x) é a derivada de sen(x)
sobre cos(x)/dx. O que é que nos diz a regra do quociente? Nós derivamos a primeira, ou seja, o que está no numerador. A derivada de sen(x) é cos(x), vezes o denominador cos(x), menos o primeiro, que é sen(x), vezes a derivada do dominador,
que é cos(x). A derivada vai ser -sen(x). Isto tudo sobre o denominador
ao quadrado, cos²(x). Ficamos então com cos²(x) menos com menos dá mais, mais sen²(x)
sobre cos²(x) sen²(x) + cos²(x) = 1. Então, ficamos com
1 / cos²(x). Isso vai nos dar a sec²(x). Então, descobrimos qual é
a derivada da tangente de "x". Chegamos na sec²(x), através da regra do quociente. Vamos aplicar a mesma para
descobrir a derivada da cotg(x). A derivada da cotg(x) é a derivada do cos(x) / sen(x)/dx. E vamos aplicar a mesma regra. Então, é a derivada do primeiro -sen(x), vezes o segundo sen(x),
menos o primeiro cos(x), vezes a derivada do segundo que é cos(x), isso tudo sobre o denominador
ao quadrado, sen²(x). Colocando este menos em evidência, nós vamos ter -sen²(x) + cos²(x)
sobre sen²(x). sen²(x) + cos²(x) = 1. Portanto, no numerador vamos ficar com -1 e, no denominador, sen²(x). 1 / sen(x),
é cossecante de "x". Portanto, 1 / sen²(x) é a cossecante ao quadrado de "x". Portanto, ficamos com -cossec²(x). Então, desta forma, nós descobrimos qual é
a derivada da cotangente de "x" pela regra do quociente e chegamos à sua derivada,
que é -cossec²(x).