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hoje nós vamos ver como determinar a derivada através da definição utilizando duas formas diferentes uma forma mais geral e uma forma particular ou alternativa inicialmente vamos dar uma olhada aqui na nossa forma geral para calcular a derivada pela definição vamos supor que você tenha um determinado ponto e que as coordenadas desse ponto sejam a eef de a em que aqui claro a gente tem um gráfico que descreve essa função e y igual a fdx se você pega um determinado ponto como esse aqui e você queira determinada inclinação da reta tangente a esse ponto basta simplesmente determinar a derivada dessa função nesse ponto e o mesmo você pode fazer em qualquer outro ponto aqui ao longo desse gráfico você vai determinar a derivada da função naquele ponto mas a gente consegue estabelecer uma outra função que consegue determinar a inclinação da reta tangente ou seja a derivada em qualquer ponto dessa função e é o que nós vamos fazer aqui pra fazer isso vamos pegar um ponto xis aqui vamos supor que aqui a gente tem um ponto x 1 ponto x arbitrário qualquer sendo assim aqui a gente vai ter as coordenadas x fdx certo então esse é o nosso ponto x fdx vamos supor também que a gente pegue um outro ponto a uma distância hds x ou seja a gente vai fazer uma variação aqui no eixo x uma variação que seja igual h então esse outro ponto vai estar aqui nessa coordenada x mas a gawker então esse ponto aqui tem as coordenadas x mas hfd x mas a gata ok então essas são as coordenadas desse ponto bem uma coisa interessante é que a gente ligar esses dois pontos através de uma reta a gente vai determinar a reta secante não é então vamos fazer isso vamos traçar essa reta que nem esses dois pontos aqui aí assim a gente tem a nossa reta secante como a gente consegue determinar a inclinação dessa reta secante calculando a razão entre a variação no eixo y pela variação do e x e como que a gente calcula a variação no eixo y basta a gente pegar a função nesse ponto x mas h - a função nesse ponto x então vamos fazer isso aqui vamos colocar aqui fdx mas h - fdx então a gente já tem a nossa variação do eixo y dividido pela variação no eixo x ou seja x mas agamenon x então nós já temos aqui a inclinação da nossa reta secante que diga se de passagem a gente pode até anular esse xis com esse xis aqui afinal x - x 0 sobra apenas o hq no denominador agora o que acontece se a gente fizer esse h fica cada vez mais pequeno ou seja se a gente pegar essa coordenada que x + h e aproximar ela o máximo possível aqui desse x ou seja realizar um limite quando h tende a zero vamos fazer um limite quando nosso h tende a zero assim quando a gente faz esse limite com h tendendo a zero a gente está trazendo essa coordenado mais próximo possível para esse xis aqui consequentemente a nossa função x mas h vai entender a função fdx e aí esse ponto aqui vai se aproximar cada vez mais desse outro ponto de uma forma que quando esse h atender a zero a nossa reta secante que ninguém esses dois pontos vai ser igual ou pelo menos entender mas a gente pode dizer que vai ser igual à reta tangente a esse ponto x então quando a gente aplica esse limite a essa inclinação da reta secante a gente está encontrando a inclinação da reta tangente a esse ponto xis e aí a gente pode dizer que tudo isso é uma função é filhinha de x ou a derivada de fdx então pra gente conseguir determinar derivada de x em qualquer ponto ao longo dessa função basta calcular o limite dessa inclinação da reta secante assim a gente vai encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto aqui por exemplo vamos supor que a gente queira saber a inclinação da reta tangente a esse ponto a fdd a com isso basta substituir o xis aqui por a assim a gente vai ter a derivada nesse ponto a 11 em x igual a igual ao limite com h tendendo a zero df de a mais h - fd a sobre h vamos colocar aqui o nosso apoio é o f de armas h - o fbi a assim a gente vai conseguir determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto a ef de ar calculando essa derivada observe que isso daqui é uma forma geral que serve para qualquer ponto ao longo dessa função mas eu tinha quiser saber a derivada nesse ponto a gente pode fazer isso de uma forma direta sem ter necessidade de levar em consideração essa variação h para calcular essa derivada basta calcular o limite nesse ponto haja direto aqui ou seja quando o x tende ao ar por exemplo vamos imaginar que a gente tem aqui um ponto x 1 ponto xis aqui qualquer um x arbitrário em que têm as coordenadas x fdx novamente nós podemos traçar aqui a nossa renda secante que a reta que ninguém esses dois pontos e determinar a inclinação dessa reta secante como que a gente consegue determinar a inclinação dessa reta secante mas é no mesmo esquema calculando avaliação da função e dividindo pela variação no eixo x assim a gente vai te fdx - f nesse caso de ar porque a gente já está querendo calcular diretamente a inclinação da reta tangente nesse ponto a / x - a isso aqui como eu falei representa a inclinação da reta secante que esses dois pontos mas a gente quiser saber a inclinação da reta tangente passando por esse ponto a ef de ar a gente pode fazer com que esse xis se aproxime desse a quando esse xis se aproximar desse a a gente vai ter essa reta secantes se aproximando aqui dessa reta tangente à inclinação dela vai ficar cada vez mais próxima a inclinação da reta tangente se a gente calcular o limite com o x tendendo a a inclinação da reta secante vai ser igual a inclinação da reta tangente que passa por esse ponto a então essa é uma outra forma de calcular também a levada neste ponto a nota em que aqui nós temos duas formas uma forma geral que serve para qualquer ponto xis em qualquer situação e aqui a gente já tem uma forma reduzida que serve para calcular a derivada quando nós já sabemos o ponto exato que a gente quer se você fizer isso aqui e depois substituiu x por a não tem problema mas é que a gente pode fazer de uma forma direta qualquer uma das duas formas da no mesmo aqui
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