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Transcrição de vídeo

no último vídeo que mostrei como determina a inclinação de uma curva em um ponto específico mas nesse vídeo quero generalizar um pouco mais eu quero te mostrar como é possível determinar a inclinação em qualquer ponto da curva pra fazer isso vamos desenhar novamente aqui os nossos eixos coordenados afinal de contas nunca é demais fazer um novo desenho vamos lá vamos traçar aqui o nosso eixo e y e aqui o nosso eixo x aqui está nossa curva é uma curva bem conhecida essa é a curva que representa função y igual à x ao quadrado e como eu disse que nós fizemos no último vídeo foi determinada inclinação em um ponto específico dessa curva certo só que agora eu quero te mostrar como você vai conseguir determinar a inclinação em qualquer conjunto então pra generalizar vamos dizer que esse ponto seja um ponto x qualquer e que aqui eu tenha um fdx esse ponto aqui vai corresponder o ponto x fdx e f the xx ao quadrado pode até botar aqui que fdx é o xis ao quadrado então esse ponto e 1 ponto xx ao quadrado que são as coordenadas desse ponto no penúltimo vídeo que mostrei como você consegue determinar a inclinação em um ponto de uma curva e pra fazer isso a gente vai usar a função dele invada e essa função derivada seria efe linha de x em que esse fmd x vai se a derivada da função fdx lembrando que isso daqui também é uma função ou seja não é uma inclinação constante então a partir do momento que você consegue determinar essa função é filha de che qualquer valor de x que você colocar nessa função você vai encontrar inclinação da curva naquele ponto específico então se a gente quiser sabe a inclinação quando x é 3 basta colocar 13 aqui se quiser saber a inclinação quando x for igual a -3 basta colocar ao menos três nessa função se você quiser saber inclinação quando x foi igual a mil basta substituir 1 mil aqui nessa função ou seja você vai conseguir determinada inclinação em qualquer ponto da curva então é isso que a gente precisa fazer aqui a gente precisa encontrar essa derivada porque aí é essa derivada vai ser uma generalização para encontrar a inclinação em qualquer ponto da curva ea pergunta é como é que a gente consegue encontrar essa derivada do penúltimo vídeo últimos três se você tivesse dois pontos aqui um ponto xis e um outro ponto um pouquinho mais distante levemente distante do x inclusive tivesse uma distância h então a gente teria que um ponto x + h em que como eu disse esse ponto x mas h é levemente maior do que esse x ai claro a gente também teria que a função de xis aqui que seria que seria esse ponto seja x + h ao quadrado então esse ponto aqui vai ser o ponto x + h x + h ao quadrado é essas são as coordenadas desse ponto e eu te mostrei no penúltimo vídeo que a gente conectar esses dois pontos a gente vai encontrar uma reta secante certo e que a gente consegue inclusive determinar a inclinação dessa reta secante mas como é que você consegue determinar a inclinação dessa reta secante utilizando a definição da inclinação de uma reta dividindo a variação aqui no eixo y pela variação aqui no eixo x em que essa variação que no eixo x é o próprio h então a inclinação dessa reta vai ser a variação no eixo y que vai ser o fd x mas h - o fx então nós temos aqui fdx mas h - fdx dividido pela avaliação no eixo x e essa variação no eixo x como eu falei é o próprio h ok tudo bem mas eu não quero essa inclinação da reta secante eu quero inclinação nesse ponto xis e para determinar essa inclinação no ponto x a gente vai utilizar a definição da derivada então o que a gente precisa saber que é derivada é a derivada da função no ponto xis ea definição da derivada diz a gente quer a inclinação nesse ponto x a gente vai aproximar esse outro ponto x + h o máximo possível aqui de x aí a gente vai conseguir determinar a inclinação da reta tangente a esse ponto então se eu quero aproximar esse ponto x + h ao ponto x eu preciso fazer um limite com h tendendo a zero então essa derivada que dessa função no ponto x vai ser igual ao limite de h atendendo a 0 dessa expressão aqui e isso é a nossa definição da derivada ok o que podemos fazer agora é substituiu fdx mais h aqui eo fdx também no último vídeo que mostrei que a inclinação quando x é igual a 3 vai ser igual a 6 então se a gente substitui a que o x igual a 3 a gente vai ter um resultado igual a 6 que é a inclinação no ponto x igual a 3 para essa função y igual à x ao quadrado então nós podemos começar resolver agora esse limite para determinar essa derivada efe linha de x mas quando seria esse fdx mais h e qual seria esse fdx o fx mais h é o retorno da função y igual x ao quadrado de x mas a gata e conforme eu te mostrei aqui é x + h elevada ao quadrado então a gente tem que fc x + hrx mais h elevada ao quadrado - fdx qual seria o fdx seria a função no ponto x essa função no ponto x é igual à x ao quadrado a gente tem que menos x elevada ao quadrado eo sul / h então essa daqui corresponde a inclinação da nossa retas e cante no entanto como eu falei a gente quer inclinação nesse ponto x então a gente precisa fazer o seguinte cálculo lá essa derivada e pra calcular essa derivada a gente vai precisar calcular o limite disso o limite com h tendendo a zero porque isso porque quando a gente tem esses dois pontos aqui a essa certa distância a gente vai ter uma reta secante como eu já falei a partida momento que a gente começa a aproximar esse ponto aqui a esse outro ponto a gente está fazendo com que esse xis mais h se torne o mais próximo possível de se x ou seja essa variação a gastar tendendo a zero está cada vez mais se aproximando de zero e aí vai chegar um ponto que ele vai se aproximar tanto tanto tanto que essa reta secante vai acabar se transformando na reta tangente a esse ponto e é a inclinação da reta tangente a esse ponto que nós estamos tentando encontrar então vamos lá pra gente calcula agora esse limite de h tendendo a zero a gente vai abrir essa parte ac x + h elevada ao quadrado e deixa fazer de azul que também x + h ao quadrado vai ser igual à x ao quadrado mais 2 x h mais a h1 quadrado no menu x ao quadrado tudo isso / h nem x ao quadrado o que é positivo e esse xis ao quadrado negativo aqui nós temos x ao quadrado - x ao quadrado certo então a gente já pode anular esse xis ao quadrado ea gente ficou apenas com 2 x h mais h ao quadrado / h inclusive a gente pode até simplificar isso se a gente divide 2x h por h só vamos ter 2 x 1 e se divide h o quadrado por h só vamos ter a gás certo então a gente tem aqui 2 x 1 mas h não podemos esquecer que a gente quer é a derivada de x e que isso é igual ao limite com h tendendo a zero para essa expressão aqui se a gente substituir-se x por três conforme eu mostrei no último vídeo a gente vai ter seis mais h1 forma a gente chegou lá certo mas como nesse caso aqui a gente tem um limite de h tendendo a zero esse h vai ser zero e aí a gente vai chegar a essa expressão 2x então a derivada da função x ao quadrado para qualquer x vai ser igual a 2 x 1 e isso aqui vai mostrar pra gente a inclinação da reta em qualquer ponto dessa função beleza então temos aqui que fdx é igual à x ao quadrado e é filha de che que é derivada da função x é igual a 2 x rock beleza então aqui qualquer valor que você colocar para x é que você vai encontrar um valor correspondente no eixo isso certo e aqui você vai encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto específico e eu quero me certificar de que você está compreendendo isso muito bem porque eu sei que não é algo muito intuitivo não é algo muito fácil pensar em uma função que te dá uma curva em um ponto de uma outra função e pra conseguir compreender isso legal vamos desenhar novamente aqui os nossos eixos coordenados então novamente eu vou desenhar que o eixo y e aqui um eixo x aqui a gente tem a nossa curva y igual à x ao quadrado certo o nosso fdx igual à x ao quadrado e vamos supor que a gente queira saber a função fdx em um ponto específico aqui um ponto x igual a 7 bem você já está acostumado com função então se a gente quer saber a função quando x é igual a 7 basta simplesmente substituir se sete aqui no lugar do x então teremos sete ao quadrado e 7 ao quadrado é igual a 49 certo então a função fdx quando x é igual a sete é igual a quatro 39 beleza no entanto existe uma reta que tangencia esse ponto seja nós temos uma reta tangente a esse ponto aqui é que a gente tem uma reta tangente a este ponto acho que deu para entender a idéia de que isso aqui é uma reta tangente esse ponto certo se você quiser saber a inclinação dessa reta que está tangenciam do esse ponto basta fazer a mesma coisa mas com a função da elevada então a gente vai ter é fininha de quando x é igual a 7 e f linha de x é igual a 2 x então a gente vai ter que 2007 que é igual a 14 então esse 14 corresponde a inclinação dessa reta tangente a esse ponto x igual a sete se você pegar essa reta tangente e calcula a inclinação dela pela definição pegando a avaliação de y e dividindo pela variação de x você vai chegar esse mesmo resultado igual a 14 para você entender legal vamos pegar um outro ponto é que vamos pegar um ponto xis em que esse ponto x tem um valor igual a 2 a gente pode fazer a mesma coisa aqui em que a gente vai te f quando x é igual a 2 a gente tem aqui dois ao quadrado e dois ao quadrado é igual a quatro que seria esse ponto aqui no eixo y 4 certo então aqui esse ponto tem as coordenadas 24 se eu fizer a função da elevada nesse ponto x igual a 2 a gente vai ter um resultado igual a 2 vezes 2 e 2 vezes 2 também é igual a quatro mas claro isso é apenas uma coincidência ok o que esse 4 nos em forma é que nesse ponto a gente vai ter uma reta com uma certa inclinação uma reta tangente esse ponto com uma certa inclinação e essa inclinação é igual a quatro nesse ponto a gente vai ter uma reta tangente em que essa reta vai ter uma certa inclinação e que a inclinação dessa reta ou seja m vai ser igual a 4 agora se a gente pegar o ponto x igual a zero no ponto x igual a zero a gente vai te f quando x foi igual a zero zero ao quadrado é igual a zero ea derivada nesse ponto x igual a zero mas se igual a duas vezes eram duas vezes zero é igual a zero ou seja nesse ponto zero que a gente vai ter uma reta em que a inclinação é igual a zero ou seja nós vamos ter uma reta horizontal já que é uma reta quando a inclinação é igual a zero se a gente vê aqui para o outro lado por exemplo escolher um ponto em que os x é igual a menos um agente vai ter aqui efe quando x por igual ao menos um é o f para x igual a menos um é menos um quadrado e menos um quadrado é igual a um calculando a derivada no ponto x igual a menos um agente tem que é fininha para x igual a -1 vai ser igual a duas vezes - um é igual a menos dois então nesse ponto a gente vai ter uma reta tangente com uma inclinação negativa desse jeito aqui então cada valor aqui encontrado vai corresponder a inclinação da reta tangente em cada um desses pontos então sempre que a gente fizer a derivada o que nós estamos querendo encontrar na verdade é a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função fdx ok então espero que você tenha gostado desse vídeo e até a próxima
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