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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 2
Lição 2: Definição da derivada de uma função e uso da notação de derivada- Definição formal da derivada como um limite
- Definição formal e alternativa da derivada
- Exemplo resolvido: derivada como um limite
- Exemplo resolvido: derivada a partir da expressão do limite
- Derivada como um limite
- A derivada de x² em x=3 usando a definição formal
- A derivada de x² em qualquer ponto usando a definição formal
- Como encontrar as equações da reta tangente usando a definição formal de limite
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A derivada de x² em qualquer ponto usando a definição formal
Neste vídeo, encontramos a expressão do limite para a derivada de f(x)=x² em qualquer ponto x e a simplificamos em uma expressão mais simples (spoiler: é 2x). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - No último vídeo, eu mostrei como determinar a inclinação de uma
curva em um ponto específico. Mas, neste vídeo, eu quero
generalizar um pouco mais. Eu quero te mostrar como é possível determinar a inclinação
em qualquer ponto da curva. Para fazer isso, vamos desenhar novamente aqui os nossos eixos coordenados. Afinal de contas, nunca é demais
fazer um novo desenho. Vamos lá! Vamos traçar aqui o nosso eixo "y"
e aqui o nosso eixo "x". Aqui está nossa curva,
é uma curva bem conhecida. Esta é a curva que representa a função y = x². E como eu disse, o que nós
fizemos no último vídeo foi determinar a inclinação em um
ponto específico desta curva, certo? Só que agora eu quero te mostrar como você vai conseguir determinar a inclinação em qualquer ponto. Então, para generalizar, vamos dizer que este ponto seja um ponto "x" qualquer e que aqui eu tenha um f(x). Este ponto aqui vai corresponder
ao ponto (x, f(x)) e f(x) é x². Você pode até colocar aqui
que f(x) é o x². Então, este ponto é o ponto (x, x²), que são as coordenadas deste ponto. No penúltimo vídeo, eu mostrei
como você consegue determinar a inclinação em um ponto de uma curva. E para fazer isso, a gente vai
usar a função derivada. E essa função derivada seria f'(x) em que este f'(x) vai ser
a derivada da função f(x). Lembrando que isto aqui
também é uma função, ou seja, não é uma inclinação constante. Então, a partir do momento que você
consegue determinar esta função f'(x) qualquer valor de "x" que você
colocar nesta função você vai encontrar a inclinação
da curva naquele ponto específico. Então, se a gente quiser saber
a inclinação quando "x = 3", basta colocar 3 aqui. Se quiser saber a inclinação
quando "x = -3", basta colocar o -3 nesta função. Se você quiser saber a inclinação quando "x = 1.000", basta substituir o 1.000
aqui nesta função. Ou seja, você vai conseguir determinar a inclinação
em qualquer ponto da curva. Então, é isso que a gente
precisa fazer aqui, a gente precisa encontrar esta derivada. Porque esta derivada vai ser
uma generalização para encontrar a inclinação em qualquer ponto da curva. E a pergunta é: como é que a gente consegue
encontrar esta derivada? No penúltimo vídeo, eu te mostrei que se você
tivesse dois pontos aqui, um ponto "x" e um outro ponto
um pouquinho mais distante, levemente distante do "x", que inclusive tivesse uma distância "h". Então, a gente teria aqui
um ponto "x + h" em que, como eu disse, este ponto "x + h" é levemente maior do que este "x". Aí, claro, a gente também
teria aqui a f(x) que seria este ponto, ou seja, (x + h)². Então, este ponto aqui
vai ser o ponto (x + h, x + h²). Então estas são as coordenadas
deste ponto. Eu te mostrei, no penúltimo vídeo que,
se a gente conectar estes dois pontos, a gente vai encontrar
uma reta secante, certo? E que a gente consegue, inclusive, determinar a inclinação
desta reta secante. Mas, como é que você consegue determinar
a inclinação desta reta secante? Utilizando a definição da
inclinação de uma reta. Dividindo a variação aqui no eixo "y"
pela variação no eixo "x", em que essa variação no eixo "x" é o próprio "h". Então, a inclinação desta reta vai ser
a variação no eixo "y" que vai ser o f(x + h) - f(x). Então, nós temos aqui f(x + h) - f(x) dividido pela variação no eixo "x". E esta variação no eixo "x",
como eu falei, é o próprio "h". Ok, tudo bem! Mas eu não quero esta
inclinação da reta secante, eu quero a inclinação neste ponto "x". E para determinar esta
inclinação no ponto "x", a gente vai utilizar
a definição da derivada. Então, o que a gente precisa
saber aqui é a derivada. É a derivada da função no ponto "x". E a definição da derivada diz, que se a gente quer
a inclinação neste ponto "x", a gente vai aproximar
este outro ponto "x + h" o máximo possível de "x". Aí, a gente vai conseguir determinar a inclinação da reta
tangente a este ponto. Então, se eu quero aproximar este
ponto "x + h" ao ponto "x". Eu preciso fazer um limite com "h"
tendendo a zero. Então, esta derivada desta
função no ponto "x", vai ser igual ao limite de "h"
tendendo a zero desta expressão aqui. E isto é a nossa definição da derivada. Ok, o que podemos fazer agora
é substituir f(x + h) aqui e o f(x) também. No último vídeo, eu te mostrei que
a inclinação quando "x = 3", vai ser igual a 6. Então, se a gente substituir o "x = 3", a gente vai ter um resultado igual a 6, que é a inclinação no ponto "x = 3" para essa função y = x². Então, nós podemos começar
a resolver agora este limite para determinar esta derivada f'(x). Mas qual seria este f(x + h)
e qual seria este f(x)? O f(x + h) é o retorno da função
y = x²(x + h). E conforme eu te mostrei aqui,
é x + h². Então, a gente tem que f(x + h)
é (x + h)² - f(x). Qual seria o f(x)? Seria a função no ponto "x".
E essa função no ponto "x" é igual a x². A gente tem que -x²,
tudo isso dividido por "h". Então, esta daqui corresponde
à inclinação da nossa reta secante. No entanto, como eu falei, a gente quer
a inclinação neste ponto "x". Então, a gente precisa fazer o seguinte,
calcular esta derivada. E para calcular esta derivada, a gente vai precisar
calcular o limite disto, o limite com "h" tendendo a zero. Por que isso? Porque quando a gente tem
estes dois pontos aqui, a essa certa distância, a gente
vai ter uma reta secante. Como eu já falei. A partir do momento que
a gente começa a aproximar este ponto aqui a este outro ponto, a gente está fazendo com que este "x + h" se torne o mais próximo
possível deste "x". Ou seja, essa variação "h"
está tendendo a zero, está cada vez mais se
aproximando de zero. E aí, vai chegar um ponto que ele
vai se aproximar tanto, tanto, tanto, que esta reta secante vai acabar se transformando
na reta tangente a este ponto. E é a inclinação da reta
tangente a este ponto que nós estamos tentando encontrar. Então, vamos lá! Para a gente calcular agora este limite
de "h" tendendo a zero, a gente vai abrir
esta parte aqui (x + h)². Deixe-me fazer de azul aqui também. (x + h)² vai ser igual a
x² + 2xh + h² menos x², tudo isso dividido por "h". Bem, x² aqui é positivo. E este x² negativo. Aqui nós temos x² - x².
Certo? Então, a gente já pode anular este x². E a gente ficou apenas com
2xh + h² / h. Inclusive, a gente pode
até simplificar isto. Se a gente dividir 2xh por "h", só vamos ter 2x. E se dividir h² por "h",
só vamos ter "h", certo? Então, a gente tem aqui 2x + h. Não podemos esquecer que a gente quer a derivada de "x",
e que isso é igual ao limite com "h" tendendo a zero
para esta expressão aqui. Se a gente substituir este "x" por 3, conforme eu mostrei no último vídeo, a gente vai ter 6 + h. Conforme a gente chegou lá, certo? Mas como, neste caso aqui, a gente
tem um limite de "h" tendendo a zero, este "h" vai ser zero. E aí, a gente vai chegar
a esta expressão 2x. Então, a derivada da função x² para qualquer "x",
vai ser igual a 2x. E isto aqui vai mostrar para a gente a inclinação da reta em qualquer
ponto desta função, beleza? Então, temos aqui que f(x) = x², e f'(x) que é derivada da função "x" é igual a 2x. Então, aqui, qualquer valor
que você colocar para "x" você vai encontrar um valor
correspondente no eixo "y", certo? E aqui você vai encontrar
a inclinação da reta tangente, naquele ponto específico. E eu quero me certificar de que você está
compreendendo isso muito bem, porque eu sei que
não é algo muito intuitivo, não é algo muito fácil
pensar em uma função que te dá uma curva em
um ponto de uma outra função. E para conseguir compreender isso legal, vamos desenhar novamente aqui
os nossos eixos coordenados. Então, novamente, eu vou desenhar aqui o eixo "y" e aqui o eixo "x". Aqui a gente tem a nossa curva
y = x², certo? O nosso f(x) = x². E vamos supor que a gente
queira saber a função f(x) em um ponto específico aqui,
em um ponto "x = 7". Bem, você já está acostumado com função, então, se a gente quer
saber a função quando "x = 7", basta simplesmente substituir
este 7 aqui no lugar do "x". Então, teremos 7² e 7² = 49, certo? Então, a função f(x) quando "x = 7"
é igual a 49. No entanto, existe uma reta
que tangencia este ponto. Ou seja, nós temos uma reta
tangente a este ponto aqui. Então, aqui a gente tem uma
reta tangente a este ponto. Eu acho que deu para entender a ideia de que isso aqui é uma reta
tangente a este ponto, certo? Se você quiser saber
a inclinação desta reta que está tangenciando este ponto, basta fazer a mesma coisa, mas com a função derivada. Então, a gente vai ter f'
de quando "x = 7" e f'(x) = 2x. Então, a gente vai ter que
2 vezes 7 que é igual a 14. Então, este 14 corresponde
à inclinação desta reta tangente a este ponto "x = 7". Se você pegar esta reta tangente e calcular a inclinação dela
pela definição, pegando a variação de "y" e dividindo pela variação de "x", você vai chegar a este
mesmo resultado igual a 14. Para você entender legal,
vamos pegar um outro ponto aqui. Vamos pegar um ponto "x",
em que este ponto "x" tem um valor igual a 2. A gente pode fazer a mesma coisa aqui, em que a gente vai ter "f" quando "x = 2". A gente tem aqui 2² e 2² é igual a 4, que seria este ponto aqui
no eixo "y", 4, certo? Então, aqui este ponto tem
as coordenadas (2, 4). Se eu fizer a função derivada neste ponto "x = 2", a gente vai ter um resultado
igual a 2 vezes 2. E 2 vezes 2 também é igual a 4. Mas, claro, isso é apenas
uma coincidência! O que este 4 nos informa é que neste ponto, a gente vai ter
uma reta com uma certa inclinação, uma reta tangente a este ponto
com uma certa inclinação. E esta inclinação é igual a 4. Neste ponto, a gente vai ter
uma reta tangente, em que essa reta vai ter
uma certa inclinação e que a inclinação dessa reta,
ou seja, "m", vai ser igual a 4. Agora, e se a gente pegar o ponto "x = 0"? No ponto "x = 0",
a gente vai ter "f" quando "x = 0". Zero ao quadrado é igual a zero. E a derivada nesse ponto "x = 0"
vai ser igual a duas vezes zero. E duas vezes zero é igual a zero. Ou seja, neste ponto zero, a gente vai ter uma reta em que
a inclinação é igual a zero. Ou seja, nós vamos ter
uma reta horizontal, já que é uma reta quando
a inclinação é igual a zero. Se a gente vier aqui para o outro lado, por exemplo, escolher
um ponto em que "x = -1" a gente vai ter aqui "f" quando "x = -1". E o "f" para "x = -1" é -1², e (-1)² = 1. Calculando a derivada no ponto "x = -1", a gente tem que f' para x = -1 vai ser igual a 2 vezes -1,
que é igual a -2. Então, neste ponto, a gente vai ter
uma reta tangente com uma inclinação negativa,
deste jeito aqui. Então, cada valor aqui encontrado vai corresponder à inclinação
da reta tangente em cada um destes pontos. Então, sempre que a gente
fizer a derivada, o que nós estamos querendo encontrar,
na verdade, é a inclinação da reta tangente em qualquer
ponto da função f(x). Então, eu espero que você
tenha gostado deste vídeo. E até a próxima!