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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 2
Lição 2: Definição da derivada de uma função e uso da notação de derivada- Definição formal da derivada como um limite
- Definição formal e alternativa da derivada
- Exemplo resolvido: derivada como um limite
- Exemplo resolvido: derivada a partir da expressão do limite
- Derivada como um limite
- A derivada de x² em x=3 usando a definição formal
- A derivada de x² em qualquer ponto usando a definição formal
- Como encontrar as equações da reta tangente usando a definição formal de limite
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A derivada de x² em x=3 usando a definição formal
Neste vídeo, encontramos a expressão do limite para a derivada de f(x)=x² no ponto x=3 e a calculamos. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Porque a derivada de x é 2x no final o vídeo? F'(x)=2x para função f(x)=x^2(5 votos)
- ele só simplificou o método usando diretamente a derivada de x^2, pela tabela das derivadas quando você tem um x^n o expoente n tomba pra frente do número e se subtrai 1 no expoente ficando: nx^n-1.
Sugiro dar uma olhada nessa tabela e acredito que nos vídeos adiante deva ter também(3 votos)
- O que quer dizer a tangente da reta ser igual a 6? Qual o significado disso no gráfico? Expressa uma função constante?(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vimos em vídeos anteriores
que a derivada de uma função f(x), ou seja, f'(x) é o limite quando h tende a zero
de f(x₀ mais um incremento h) menos f(x₀) sobre esse incremento h. O que vamos mostrar neste vídeo
é que nós podemos abordar essa inclinação, essa tangente, que é a inclinação da nossa derivada, como uma aproximação pela reta secante. Então vamos pegar um eixo x e y
e uma curva qualquer. Uma curva qualquer passando aqui pelo ponto (0,0), depois ela vai aumentando, aumentando, e vamos supor que essa curva seja y igual a x². Então se essa curva é y igual a x², no ponto 3 ela vai valer 9. No ponto 3 mais um certo Δx,
ela vai valer (3 mais Δx)². O que nos dá a inclinação da reta secante? A nossa reta secante vai partir deste ponto
para esse ponto. Essa é a nossa reta secante. E a inclinação vai ser o cateto oposto,
ou seja, o nosso Δy sobre o cateto adjacente,
que vai ser nosso Δx. Essa vai ser a inclinação da nossa reta secante. Então nós temos Δy sobre Δx. Quem vai ser Δy
e quem vai ser Δx? Podemos abrir esse parênteses. Temos o quadrado do primeiro
mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Isto aqui é este ponto aqui, (3 mais Δx)², mas queremos essa distância daqui para cá, portanto vai ser a distância total,
que é esse ponto que nós achamos, menos 9. Portanto, -9. E daqui para cá nós temos 3 mais Δx menos 3 obviamente, pois se nós temos 3 mais Δx menos 3,
nós vamos ter o próprio Δx. Então podemos, agora,
simplificar esse 9 com esse 9 aqui, este 3 com esse 3 aqui e ficamos com Δy sobre Δx como sendo ( 6 Δx mais (Δx)²)
sobre Δx. Podemos simplificar mais. Podemos simplificar mais cortando tudo por Δx,
então ficamos com 6 mais Δx. O que acontece com essa reta secante
quando Δx for se aproximando de zero? Essa inclinação da reta secante vai ficando cada vez mais próxima da reta tangente nesse ponto, e a reta tangente nesse ponto 3
vai ser exatamente a derivada da minha função no ponto 3, que vai ser a inclinação, ou a reta tangente,
nesse ponto 3. Então ficamos com o limite de Δy sobre Δx
quando Δx tende a zero, ou seja, essa reta secante vai tender a quê? Nossa reta secante nós vimos que é o limite
de 6 mais Δx quando Δx tende a zero e isso vai ser igual a 6, ou seja, no ponto 3 a inclinação vai ser 6. A reta secante deixa de ser secante
e passa a ser a reta tangente, que é a nossa derivada. Nós podemos chegar a essa conclusão pela derivada de f(x). f(x) é x², então quem é f'(x)? f'(x) vai ser 2x. E quem vai ser f' no ponto 3? Vai ser igual a 2 vezes 3,
que é igual a 6. Portanto aqui nós temos a inclinação da reta tangente,
que é a derivada no ponto 3, e aqui nós temos a inclinação da reta secante
quando Δx tende a zero, que é quando eles possuem o mesmo valor.