Exemplo resolvido: derivada a partir da expressão do limite

RKA8JV - A forma alternativa da derivada da função "f" do número "a" indicada por f'(a) é dada por isto aqui. f'(a) vai ser igual ao limite do "x" tendendo "a" de f(x) - f(a) sobre x - a, desde que o limite exista, claro né. Ok, uma coisa interessante que a gente pode observar e lembrar é que, normalmente, a derivada representa a inclinação da reta tangente em um certo ponto, certo? Só que o que a gente tem aqui neste limite, é o quê? Para observar isso vamos traçar os nossos eixos. Aqui o nosso eixo "y" e aqui o nosso eixo "x". Não está muito bem desenhado não, mas é só para ter uma ideia. Vamos supor que aqui a gente tenha uma função qualquer, pode ser qualquer função, não importa, em que essa função vai ser a função "f", f(x) neste caso. Vamos supor, agora, que a gente tenha aqui um ponto "a" qualquer. Aqui está o nosso ponto "a", que obviamente, este ponto vai ser o ponto (a, f(a)). E aí, ao longo desta função, a gente pode ter um outro ponto "x" aqui qualquer, ok? Este ponto vai ser o nosso ponto (x, f(x)). O que nós temos aqui é o quê? O que nós temos aqui em cima no numerador é a variação da função entre f(x) e f(a). Então, isso aqui é a variação da nossa função aqui, nesses pontos aqui. E aqui no denominador, a gente tem a nossa variação em "x". A nossa variação aqui é entre "a" e "x". Quando a gente pega variação da função e divide pela variação em "x", o que nós vamos determinar aqui é a reta secante que liga esses dois pontos. Aí, o que a gente faz quando pega esse limite com "x" tendendo a "a"? A gente vai pegando pontos cada vez mais próximos aqui do "a", fazendo com que esta reta secante fique cada vez mais próxima da reta tangente a este ponto aqui, tangente a este ponto (a, f(a)). Então, o limite desta nossa reta secante, que é determinada por esta expressão aqui, quando "x" tende a "a" vai ser o quê? A inclinação da reta tangente a esse ponto "a". Então essa é uma forma que a gente consegue utilizar para calcular a derivada no ponto "a". Ok, já sabendo disso, a gente pode continuar aqui. Com a forma alternativa da derivada para ajudar, resolva a seguinte expressão de limite identificando a função "f" e o número "a". Bem, a gente tem aqui que este é f'(5) é igual ao limite com o "x" tendendo a 5 de (x³ - 125) sobre (x - 5), e que isso é a derivada da função f(x). Mas qual seria essa função f(x)? Bem, o que nós podemos observar aqui é o seguinte: olha, aqui em cima a gente tem o f(x), certo? Se a gente tem a função f(x), obviamente, este x³ aqui vai ser o quê? A nossa função f(x). Então a gente pode dizer claramente que a nossa função f(x) = x³, e isso menos 125. 125 vai ser o quê? 125 vai ser a função em "a". E quem é "a"? Bem, a gente sabe que o "x" aqui está tendendo a "a", não é? O "x" não tende a "a"? E aqui a gente não tem "x - a"? Aqui a gente tendendo a 5, e aqui a gente tem "x - 5". Então, se aqui nós temos "a", aqui nós temos "a" e aqui nós temos "a", significa que o nosso "a" é igual a 5. Então, a gente pode dizer que o nosso "a = 5". Sendo assim, a nossa função no ponto "a" vai ser igual a quê? 125. Só que a nossa função não é x³? Então, a gente vai ter que a função vai ser 5³. E por incrível que pareça, 5³ é quanto? 125. Então, está mais do que certo que a nossa função f(x) = x³, então, a gente pode até colocar aqui que o f(x) = x³ e o nosso "a = 5". Então encontramos tanto a nossa função quanto 5. Mas para ficar mais claro isso aqui, vamos observar novamente os nossos eixos? Aqui a gente tem o eixo "y" e aqui temos o nosso eixo "x". Novamente, não está muito bem desenhado não mas é só para a gente ter uma ideia. Como a nossa função x³, vai ser algo mais ou menos desse jeito aqui. Vamos supor que aqui, eu tenha o nosso 125, aqui a nossa função é igual a 125, esse vai ser o nosso ponto "x = 5". Então, aqui nós temos o nosso ponto (5, 125). Vamos supor que a gente pegue um outro "x" qualquer. Pode ser aqui mesmo, não importa, em que aqui a gente tenha um "x" qualquer. Obviamente, que aqui a gente vai ter um ponto que é igual a (x, f(x)), que é x³. O que a gente pode fazer aqui é encontrar a inclinação da reta secante que liga estes dois pontos. Aí quando a gente calcula o limite com "x" tendendo a 5, a gente vai pegar pontos em que o "x" está cada vez mais próximo do 5, até chegar bem próximo a esse ponto aqui em que a gente vai ter uma reta tangente a esse ponto, e a inclinação dessa reta tangente que é o resultado dessa derivada. E claro, a gente nem precisa calcular isso aqui agora, mas se você quiser pode até calcular essa derivada e ver qual é a inclinação dessa reta tangente a este ponto. Mas enfim, o objetivo deste vídeo era só te mostrar que utilizando a forma alternativa da derivada, a gente consegue encontrar a função e também esse ponto "a".