Como estimar derivadas

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos aprender a estimar derivadas. E, para isso, nós temos o seguinte aqui. A tabela abaixo mostra alguns valores da função diferenciável "f". Ou seja, esta tabela. Qual é o valor mais próximo de f'(4)? Ou seja, a derivada da função quando "x = 4", isso baseado na tabela. Antes de olhar estas alternativas, vamos pensar no que está acontecendo aqui. Deixe-me colocar um plano cartesiano já com os pontos da tabela. Ou seja, na tabela nós temos o ponto [0, 72] que é este ponto aqui. Este é o ponto [3, 95]. E, claro, os eixos estão com escalas diferentes. Então, aqui é o ponto [5, 112], aqui é o ponto [6, 77] e aqui o ponto [9, 54]. Deixe-me colocar alguns valores aqui no eixo "x". 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. E o que queremos saber é qual é a derivada da função quando o "x = 4"? Ou seja, quando o "x = 4", a função vai ter um valor mais ou menos aqui. Mas, claro, nós queremos saber qual é o valor mais próximo, uma estimativa. E tendo estes pontos aqui, o gráfico da função "f" vai ser algo mais ou menos assim. Claro, eu não sei qual é o gráfico. Eu só estou colocando mais ou menos aqui para nós acharmos o valor aproximado da derivada. Pode ser algo até com mais curvas, algo mais ou menos assim, que passe por todos os pontos. E isso porque a tabela nos informa estes valores, mas para resolvermos o exercício vamos considerar que a função "f" tenha este gráfico que eu coloquei inicialmente. E o que queremos saber é se o "x" for igual a 4, qual é a inclinação da reta tangente neste ponto? Ou seja, esta é a reta tangente a este ponto, considerando que o gráfico da função "f" é este aqui. Eu estou repetindo isso bastante, porque eu quero deixar bem claro que eu não sei qual é o gráfico da função "f", mas eu estou fazendo isso para fins de visualização, para você entender o que é estimar derivada em um ponto. O que geralmente fazemos quando temos diversos pontos é olhar para os pontos mais próximos e encontrar a inclinação da reta secante que liga os dois. E quanto mais próximo estes dois pontos forem deste aqui, a nossa estimativa vai ser melhor. Ou seja, nós vamos encontrar um valor mais próximo para a inclinação da reta tangente. Para encontrar pontos mais próximos de quando "x = 4", nós devemos olhar para o 3 e para o 5. Ou seja, para o ponto [3, 95]. É este ponto aqui. E para o ponto [5, 112], que é este ponto. E o que devemos fazer é calcular a taxa de variação média entre estes dois pontos e isso significa calcular a inclinação da reta secante a estes dois pontos. E como nós só temos estes pontos na tabela, esta vai ser a nossa melhor opção para estimativa. Como nós não sabemos se este gráfico é o real da função, então, nós não temos certeza se esta estimativa vai ser a correta. Mas o que eu posso dizer é que vamos encontrar uma estimativa mais próxima utilizando estes dois pontos, do que utilizar estes dois. A taxa de variação média desta secante vai nos dar o valor bem próximo da inclinação desta reta tangente. Olhando estes pontos, a variação em "x" vai ser de 2 unidades. Isso porque o "x" foi de 3 para 5. Então, aqui tivemos uma variação de 2 unidades. E a variação no "y" vai ser de 17, isso porque o "y" variou de 95 para 112. E podemos colocar essa variação de 17 unidades aqui. E a taxa de variação média para a reta secante vai ser a mesma coisa que pegar a taxa de variação em "y" e dividir pela taxa de variação em "x". E isto vai ser a mesma coisa que pegar 17 e dividir por 2, que é a mesma coisa que 8,5. Portanto, a inclinação desta reta secante verde é igual a 8,5. E como só conhecemos estes pontos, esta vai ser a melhor estimativa para a inclinação desta reta tangente. Ou seja, a derivada da função quando "x = 4". Com isso, esta é a alternativa correta. E, de novo, eu quero deixar bem claro que este gráfico aqui, eu não tenho certeza se é o correto da função "f", eu só o fiz para você visualizar o que está acontecendo aqui. E, com isso, eu quero que você saiba que quando nós temos uma tabela com diferentes valores para "x" e para "y", nós não conseguimos encontrar com exatidão a derivada naquele ponto. Mas conseguimos pegar dois pontos próximos para estimar este valor. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!