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Transcrição de vídeo

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula Nós Vamos explorar a noção de diferenciabilidade em um ponto e vamos associar isso a continuidade basicamente isso é a mesma coisa de dizer que uma função tem uma derivada em um certo ponto e vamos relembrar o que é uma derivada e eu vou utilizar aqui anotação de Lagrange então é filhinha de ser vai ser igual ao limite quando o X tende a ser ou seja se aproxima de ser de f de x - fdc / x - ser e claro e só que parece um pouco complicado mas o que importa é que está calculando a inclinação essa aqui é a variação da nossa função basicamente o que temos aqui é a variação conforme o x se aproxima de ser ou seja isso aqui vai ficando o próximo de zero e nós já conversamos a respeito disso em outras aulas e portanto nesse vídeo eu não vou provar isso ok o que eu vou fazer nessa aula é colocar algumas definições aqui e nós vamos ter uma ideia intuitiva do porque essa é verdade primeiro se f é diferenciável em x igual a ser então F é continuar em x igual a ser basicamente o que eu estou dizendo aqui é que se isso é verdade então a função é contínua em x = c e o contrário nem sempre é verdade ou seja se a função é contínua não necessariamente ela é diferenciável mais para frente nós vamos ver alguns exemplos disso e uma outra maneira de pensar nisso é que se f não é continuar em x igual a você então efe não é diferenciável em x igual a cê deixa eu escrever isso aqui e não é continuar em x igual a ser então efe não é diferenciável em x = c Ok eu vou colocar alguns exemplos aqui de funções não contínuas e vamos ver se somos capazes de encontrar esse limite ok Aqui nós temos a nossa primeira função que apresenta uma descontinuidade Observe que essa função ela é definida em x = c mas quando o X é maior do que ser a função sofre um salto e depois continua aqui e o que acontece quando você tenta encontrar esse limite lembre-se que essa derivada ela representa a inclinação de uma reta que passa por um ponto que eu vou colocar aqui XF de x e o ponto cfdc e com isso se você quiser encontrar o limite quando X se aproxima de ser pela esquerda e você deve encontrar a inclinação da reta aqui pela esquerda e claro nós podemos encontrar valores mais próximos e mais próximos dos e encontrando a inclinação da reta mas se você perceber em todos esses casos a inclinação é zero ou seja a derivada dessa função esse limite aqui conforme vamos nos aproximando do ser pela esquerda está se aproximando de 0 mas o que acontece quando tentamos determinar o limite lateral pela direita ou seja ao invés do X estar aqui ele vai estar aqui E esse ponto vai ser x fdx nesse caso a inclinação da reta vai ser essa aqui e seu x estiver mais próximo dos e por exemplo aqui nós teríamos essa inclinação E à medida que aproximamos o x do c a inclinação vai se aproximando do infinito negativo ou seja está se aproximando de um valor diferente do que pela esquerda e portanto esse limite não existe e com isso podemos dizer que essa função não é diferenciável e de novo eu não estou provando nada que eu só mostrei que se uma função Não é continuar em um ponto então ela não é diferenciável naquele. Vamos ver mais um exemplo aqui e nós temos um caso aonde muitas vezes nós chamamos de descontinuidade removível ou desde continuidade pontual e de novo vamos dizer que o x está se aproximando dos e pela esquerda então nós temos o ponto x f de x aqui e sabe qual é o interessante desse gráfico é que nós utilizaríamos isso aqui para calcular a inclinação da reta tangente não desse ponto a essa a continuidade mas sim desse aqui até o ponto c f descer e conforme você vai ficando mais próximo de ser você vai calculando a inclinação dessas retas aqui e conforme Oxe se aproxima dos e pela esquerda essa expressão vai se aproximando do infinito negativo e seu xixi se aproximar dos e pela direita a nossa inclinação vai ficando mais positiva mais positiva e mais positiva se aproximando do infinito positivo ou seja nenhum dos dois lados se aproxima de um valor infinito mais os limites laterais são diferentes e por isso esse limite não vai existir e de novo de uma forma intuitiva nós conseguimos ver que se uma função Não é continuar em um ponto então ela não é diferenciável naquele. Esse a função não fosse definida em ser será que ela é diferenciável logicamente não porque essa parte da expressão não faria qualquer sentido ou seja se a função não é definida em ser então você não vai conseguir calcular o f de ser com isso a função não vai ser diferenciável agora eu quero fazer uma pergunta nesses dois exemplos nós vemos que se uma função Não é continua então ela não é diferenciável mas será que existe alguma função que seja contínua em todos os pontos do seu intervalo mas não seja diferenciável sim existem infinitas funções que podem ser continuar e vencer mas não são diferenciáveis por exemplo a função módulo que é uma função que só recebe valores absolutos e eu coloquei aqui o gráfico da função y = módulo de X - C E por quê efe não é diferenciável em ser para entender isso e nessa expressão aqui tudo que ela faz é calcular a inclinação de uma reta que passa por um ponto x f de x e o ponto cfdc portanto seu x estiver aqui o fdx vai estar aqui e quando você calcula o limite desse x se aproximando dos e você está calculando a inclinação dessa reta E conforme você vai se aproximando você vai obtendo valores negativos ou seja conforme o x se aproxima do ser pela esquerda essa expressão vai recebendo valores negativos mas se x for se aproximando dos e pela direita a expressão vai recebendo valores positivos com isso esse limite está recebendo dois valores diferentes Conforme você se aproxima pela esquerda ou pela direita se você se aproxima pela esquerda você tô vendo valores negativos e se você se aproxima pela direita você está recebendo valores positivos e como sabemos quando os limites laterais são diferentes Então esse limite não existe portanto essa função contínua ela não é diferenciável e se lembrarmos que essa reta tangente nada mais é do que a derivada você vai ver que conseguimos desenhar infinitas retas tangentes passando pelo pontos e olha você pode passar uma reta tangente ao ponto x = se aqui também pode ter uma reta tangente passando pelo ponto zero cê aqui e você pode continuar fazendo isso infinitamente ou seja não dá para saber exatamente qual é a derivada naquele. Mas enfim intuitivamente eu só quero que você entenda essas duas coisas c f é diferenciável em x = c a f é continuar em x = c e essa é uma outra maneira de pensar nisso se efe não é continuar em x igual a você então efe não é diferenciável em x = c e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal
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