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a função da baixa é contínua e diferenciável em x igual a 3 nós temos aqui uma função em que essa função vai ser igual à x ao quadrado para todos os valores menores que 3 e vai ser igual a 6 x - 9 para todos os valores maiores ou iguais a 3 o que nós precisamos saber aqui é se essa função é contínua e diferenciável nesse ponto x igual a 3 é uma coisa que a gente já pode eliminar que de cara é o seguinte é que toda a função só é diferenciável se ela for contínuo em um certo ponto assim a gente não pode ter uma função que não é contínua mas é diferenciado nesse ponto que a gente já pode anular logo de cara essa alternativa que que ela é diferenciado mas não é contínua não tem como ter isso tudo bem então a gente fica apenas com essas três outras opções e aí a gente vai avaliar e ver qual delas que é a certa a primeira coisa que nós vamos ver aqui é se essa função é contínua e como é que a gente sabe se uma função é de fato contínua bem para essa função ser contínua ela tem que ser igual ao limite dessa função naquele ponto então o que a gente tem que avaliar aqui e se a nossa função nesse ponto x igual a 3 vai ser igual ao limite com x tendendo ao 3 da própria função fx vamos lá então a primeira coisa que vamos calcular o fd 3 a função no ponto 3 nesse caso aqui a gente vai pegar essa parte 6 x menos nove já que é para valores maiores ou iguais a três como a gente quer avaliar no ponto 3 seria essa expressão aqui 6x -9 calculando isso aqui a gente vai ter seis meses 3 que é 1818 -9 é igual a 9 então a nossa função nesse ponto x igual a 3 vai ser igual a 9 e agora a gente precisa avaliar o limite só que como a gente tem duas expressões aqui a gente precisa avaliar o limite do lado esquerdo eo limite do lado direito então vamos avaliar que agora o limite com o x tendendo a 3 só que pela esquerda pela esquerda nesse caso você para valores menores que 3 é igual à x ao quadrado então a gente vai avaliar esse limite para a função sendo igual x ao quadrado nesse caso basta substituir três ac3 ao quadrado vai ser igual a 9 tão ótimo gente já tem um lado se uma igual a função nós vamos avaliar o limite do outro lado agora também a gente quer saber o limite com o x tendendo a 3 só que agora pela direita a função do lado direito aqui 23 é esse 6 x - 9 a gente tem aqui a função sendo 6 x - 9 enquanto que vai ser isso aqui seis meses três mas se 1818 -9 é igual a 9 então a gente tem que os dois limites os dois limites laterais é igual a função então a função é contínua nesse ponto x igual a 3 então essa parte que diz que não é contínua e nem diferenciável a gente também já pode anular porque a gente sabe que ela é contínua então a gente fica apenas agora com a dúvida se ela é diferenciável ou não e como é que uma função é diferenciável ela é diferenciável quando a derivada dessa função existe nesse ponto e como é que a gente calcula derivado a gente pode calcular através da definição como com o limite do x tendendo ao ponto que eles caso é o 3 da função de x - a função de 3 ou seja nossa variação da função sobre x - 3 rock já consegue facilmente calcular a função no ponto x igual a 3 porque a gente já fez isso aqui então essa função no ponto x igual a 3 é 9 e aí pra calcular esse limite novamente a gente precisa calcular os limites laterais então vamos tirar o colar que o limite com xixi tendemos a 3 pela esquerda nesse caso a nossa função vai se lixe sal quadrado a gente vai ter que x ao quadrado menos nove sobre x - 3 nesse caso a gente não pode substituir três aqui direto porque a gente vai ter uma indeterminação são então a gente precisa faturar isso aqui porque faturando a gente consegue eliminar isso aqui está no denominador afinal de contas x ao quadrado - 9 é igual à x mais três vezes x -3 certo e isso / x - 3 assim a gente anula essa parte com essa parte ficando apenas com x + 3 e o limite com x tendendo a 3 pela esquerda de x + 3 mas sem igual a três mais três e é igual a 6 então pelo menos o limite lateral da esquerda existe certo agora vamos calcular o limite com um x tendendo a 3 pela direita novamente a gente vai utilizar definição aqui e colocando fdx -9 o fdx agora 6 x -9 isso menos 9 / 1 x 1 - 3 rock a gente vai ter aqui 6x -9 menos nove que é igual a 6 x -18 pode até colocar isso 6 x - jesuíta / x menos três aqui no numerador a gente consegue colocar os 6 em evidência assim a gente vai ter seis meses x - 3 e aí a gente consegue cancelar esse xis menos três do numerador com esse xis menos três do denominador sobrando apenas os seis então limite aqui do lado direito também existe se os dois limites existem significa que essa função é diferenciável nesse ponto x igual a 3 então aqui a gente pode marcar essa terceira opção ambas ela tanto é contínua quanto diferenciável
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