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Justificativa da regra da potência

Prova da regra da potência para derivadas (apenas os casos mais simples).
A regra da potência nos diz como calcular a derivada de qualquer expressão que esteja na forma x, start superscript, n, end superscript:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, start superscript, n, end superscript, close bracket, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript
O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessa regra, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Vamos primeiro ver se a regra faz sentido para y, equals, x e y, equals, x, squared.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Justifying the power ruleVer transcrição do vídeo

Agora vamos provar a regra para valores inteiros e positivos de n.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Proof of power rule for positive integer powersVer transcrição do vídeo

Também podemos provar a regra para y, equals, square root of, x, end square root.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Proof of power rule for square root functionVer transcrição do vídeo