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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 2
Lição 5: Como aplicar a regra da potência- Regra da potência
- Regra da potência (potências inteiras positivas)
- Regra da potência (potências negativas e fracionárias)
- Regra da potência (reescrevendo a expressão)
- Regra da potência (reescrevendo a expressão)
- Justificativa da regra da potência
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Regra da potência (reescrevendo a expressão)
Podemos usar a regra da potência para calcular as derivadas de funções como 1/x, ∛x ou ∛x². Para fazer isso, primeiro precisamos reescrever essas funções na forma xⁿ, em que n é um número negativo ou uma fração.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos aprender
a resolver algumas derivadas utilizando a regra de potência. Então, como podemos resolver
a derivada em relação a "x" da função 1/x? Eu sugiro que você pause
o vídeo e tente resolver sozinho. Ok, vamos resolver juntos? Será que a regra de potência
de derivadas se aplica aqui? Lembrando que esta regra nada mais é
do que a derivada em relação a "x", da função "x" elevado a "n". E que nós pegamos este expoente
e jogamos para frente, ficando com "n" vezes "x" elevado a "n - 1". Esta aqui é a regra da potência
para derivadas. Mas note que estas duas coisas
não são parecidas. Neste caso, você deve fazer algumas
manipulações algébricas. E note que 1/x é a mesma coisa que "x" elevado a "-1". Portanto, eu posso escrever isso como
a derivada em relação a "x" de "x" elevado a "-1". Agora, se parece com isso, não é? Portanto, se aplicarmos a
regra da potência, este -1 vem para frente do "x". E, com isso, vamos ter
-1 vezes "x" e elevamos isso a "-1 -1", que vai ser a mesma coisa
que "-x" elevado a "-2". Ou seja, a derivada desta função
em relação a "x" é igual a isto aqui. Vamos ver mais um exemplo? Vamos dizer que nós temos
aqui a função f(x) igual à raiz cúbica de "x". E o que queremos saber é
a derivada desta função. E eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver sozinho. De cara você já olha esta
função e se pergunta: Espera aí, como eu vou
fazer esta derivada? Principalmente, utilizando
esta regra de potência? O segredo é reescrever
isto aqui como uma potência. Você pode reescrever esta função f(x) como "x" elevado a 1/3. E se você utilizar a regra
da potência para derivadas, este 1/3 vem para frente do "x". Então, vamos ter 1/3 vezes "x" elevado a "1/3 - 1". E isso vai ser igual a 1/3 vezes "x" elevado a "1/3 - 1",
que vai ser igual a -2/3. Portanto, a derivada desta
função é igual 1/3 vezes "x" elevado a "-2/3". Isso é bastante interessante, porque você pode utilizar
essa regra de potência para resolver a derivada de
outras milhares de funções. Vamos ver mais um exemplo? Vamos dizer que nós
queremos aqui calcular a derivada em relação a "x" da função raiz cúbica de x²
em "x = 8". Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver isto sozinho. Para resolver isto, nós temos que nos concentrar
nesta parte aqui primeiro, e, depois, utilizar o "x = 8". E, de novo, nós temos que
manipular isto aqui e transformar em uma potência. E a derivada em relação a "x"
da raiz cúbica de x², pode ser escrita como a derivada em relação a "x"
de x² elevado a "1/3". Ou seja, eu manipulei esta raiz e transformei nisto aqui. E eu ainda posso ajeitar esta parte. Lembrando que quando nós
temos uma potência de uma potência, nós repetimos a base
e multiplicamos os expoentes. Portanto, vamos ter "x"
elevado a "2 vezes 1/3", que é a mesma coisa que 2/3. E podemos utilizar
a regra da potência aqui, pegando este 2/3 e jogando
para frente do "x". E isso vai ser igual a 2/3 de "x" elevado a "2/3 - 1",
que é igual a -1/3. Portanto, 2/3 de "x" elevado a "-1/3". E substituindo este "x = 8", nós vamos ter 2/3 que multiplica
8 elevado a "-1/3". Isso vai ser igual a 2/3 que multiplica 1/8 elevado a 1/3. Isto aqui é a mesma coisa que 2, já que 8 elevado a "1/3"
é a mesma coisa que raiz cúbica de 8. E vamos ficar com 2/3 vezes 1/2
que é igual a 2/6. E que nós podemos simplificar,
ficando com 1/3. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!