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Justificativa das regras básicas de derivação

As regras básicas da derivação nos dizem como calcular as derivadas de funções constantes, funções multiplicadas por constantes e somas/diferenças de funções.
Regra da constantestart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, k, equals, 0
Regra da multiplicação por uma constantestart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, k, dot, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, equals, k, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis
Regra da somastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, g, left parenthesis, x, right parenthesis
Regra da diferençastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, g, left parenthesis, x, right parenthesis
O curso de cálculo avançado não exige que se conheçam as provas dessas regras, mas acreditamos que se a demonstração da prova for acessível, sempre há alguma coisa para se aprender com ela. No geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Vamos primeiro ver por que a regra da constante é verdadeira.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Basic derivative rules (Part 1)Ver transcrição do vídeo

Agora vamos provar as regras da multiplicação por uma constante e da soma/diferença.

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Basic derivative rules (Part 2)Ver transcrição do vídeo