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Regras básicas de derivação: tabela

Dados alguns valores da derivada de uma função f, e a definição completa de uma outra função g, encontre a derivada de 3f(x)+2g(x). Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

temos aqui algumas informações interessantes sobre as funções f g e h nesta tabela temos para alguns dados valores de x quais são os respectivos valores de fdx edf linha de x que é a sua derivada temos aqui definida gtx com uma expressão modular e temos aqui definida hdx que está escrita em termos de fdx e dgx o que nós estamos curiosos para saber neste vídeo é qual é a derivada em relação à xg hdx para x igual a 9 eu sugiro agora que você pausa o vídeo e tente obter isto sozinho para depois trabalharmos juntos vamos então trabalhar um pouco com isso aqui ea primeira coisa é uma outra anotação para a derivado em relação à x do hd x em x igual a 9 essa escrita é equivalente a escrever h linha essa linha significa que nós estamos tomando a derivada de h a galinha portanto de 9 porque queremos uma galinha de x quando x é nova e já posso trocar o x pelo 9 isto resume tudo que tínhamos acima vamos pensar um pouco sobre o que é isto vamos tomar a delegada dos dois lados desta igualdade para poder saber o que é derivada de hdx em relação à x então a derivada com relação à x do hdx vai ser igual a derivada de toda essa expressão que está do lado direito da igualdade 3 fx mais 2 gb x a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas destas funções ou seja vamos levar cada parcela e adicionar as suas derivadas então vamos ter aqui é derivado em relação à x de três vezes o fx mais a derivada em relação à x de duas vezes o gtx agora na hora de olhar para a derivada de 3 fx estamos vendo aqui um escalar luti publicando o fdx ea derivada de um escalar vistas a função é a mesma coisa que o scala acho que é um número vezes a derivada da função e o que isso significa significa que neste primeiro termo temos a derivada de 3 fdx e pode ser reescrito como três vezes a derivada do fx em relação à x da mesma forma para o gd x vamos ter duas vezes a derivada em relação à x do gx então aqui temos que é derivada de hdx vai ser três vezes a derivada de fx mais duas vezes a derivada de gt x podemos escrever então a galinha de x é igual a três vezes é filhinho de x mais duas vezes gelinho de x provavelmente você já está bem familiarizado com esta idéia de que a privada de três vezes alguma coisa é a mesma coisa que três vezes a privada daquela função de fato você poderia ir tranquilamente de maneira bem rápida daqui até aqui bom agora já podemos verificar qual é o valor do a galinha de x quando x vale 9h linha de 9 e vai ser então igual a três vezes o iof linha de 9 mais duas vezes g linha de 9 agora precisamos ver qual é o valor do fmi linha de 9 ou seja o valor da derivada do fx quando x 99 olhando na tabela quando x-9 o f vale 1 e o que nos interessa de fato agora é que o fmi linha vale 3 então aqui na nossa expressão toda esta parte vale 3 mas o que é o g linha de 9 vamos precisar agora olhar com mais atenção para o gt x a mais de uma forma de analisar isto mas vamos tentar observando o que acontece no gráfico desta função temos aqui os eixos e chukchis eixo y e como esta função modular se comporta quando ela vai atingir um ponto mínimo primeiro vamos nos lembrar de que o valor absoluto de algum número real é algum valor não negativo pode ser zero ou positivo e o menor valor possível disso que está aqui nos módulos é quando entre as barrinhas temos 10 e para que isso aconteça o x deve ser um calculando então o g de um quando x vale 1 hoje vai ser aqui nos módulos walter 0 mais um ali de fora então o gd um é um isso nos dá este ponto bem aqui agora o que acontece para valores de x maiores do que um vamos agora estudar com mais detalhes o gd x e quando temos uma função modular aqui ela está bem simples podemos separar la em uma função definida por mais de uma expressão e nós vamos fazer isso observando quando que o que está entre as barras do módulo é não negativo numa situação ea outra situação é quando que está entre as barras do módulo é o valor negativo já sabemos que entre as barrinhas do módulo temos valores não negativos quando x é um valor maior que o igual a 1 quando x um valor maior que o igual a 1 o que está entre as barras do módulo é um valor positivo e sendo um valor positivo entre os módulos podemos simplesmente ignorar as suas barriguinhas lembre-se o módulo de oito em oito módulos de mil o módulo de um valor não negativa ele mesmo então quando x é maior que o igual a 1 o que está entre os módulos é o valor não negativo portanto podemos simplesmente esquecer o módulo e nesse intervalo teríamos então que o gx é igual simplesmente a x - um mais um o que podemos simplificar para x gtx é igual à x para x maior que ou igual a 1 agora precisamos estudar como o gd x é definida para x menor do que 1 quando x é menor do que um que está entre as barras é um valor negativo e o módulo de um valor negativo é o seu oposto por exemplo um módulo de -9 9 módulo de menos 15 a 15 então o módulo de x - um vai ser o oposto disso que é um menu x então nesse intervalo teremos gtx definido como um - x + 1 o que significa simplesmente 2 - x então para x maior porque é igual nós olhamos para esta expressão sabemos que o gráfico disso é uma reta e qual é a inclinação dessa reta é um então para x maior que o igual a 1 o gráfico da função g é esta reta na verdade esta semi reta lembrando que a inclinação desta reta é de um para cada valor aumentado no x temos um valor aumentado no y por outro lado se os x é menor do que 1 a expressão que define g é 2 - x isso significa que a inclinação da reta é menos 11 teríamos esta semi reta aqui voltando ao nosso problema nós estamos procurando g linha de 9 e sabemos que nove o valor de x que está aqui e o que é hoje linha de 9 vamos lembrar de que isso que eu estou destacando em amarelo é o gráfico de y igual a gtx ou seja a função gtx que nós estávamos analisando e voltando então o que é hoje linha de 9 e derivados de enquanto x é igual a 9 estamos procurando exatamente a inclinação do gráfico quando x 9 e nós já sabemos que essa inclinação é um então aqui na nossa expressão gelinho de 9 vale 1 então agora podemos calcular o valor da expressão ou seja o a galinha de 9 que nós estávamos procurando é três vezes três que resulta em 9 mais duas vezes um que são 29 mais 2 11 o hagah linha de 9 a 11 isso significa que a inclinação da reta tangente o gráfico de h quando x vale 9 a 11 até o próximo vídeo