Derivação de potências inteiras (positivos e negativos)

RKA8JV - Olá, tudo bem? Nós temos aqui uma função g(x), em que essa função é igual a 2/x³ - 1/x². O que nós queremos fazer aqui é calcular a derivada desta função e depois avaliar, ou seja, calcular essa derivada no ponto "x = 2". Então, o que nós queremos aqui é calcular essa derivada, ou seja, g'(x), e depois calcular essa derivada em "x = 2". Beleza, vamos começar aqui. Mas antes disso, eu acho que é interessante você pausar este vídeo e tentar resolver isso sozinho. Tente calcular a derivada desta função e depois avaliar essa derivada no ponto "x = 2". Bem, e aí, tentou? Conseguiu? Bem, se não, preste bastante atenção neste vídeo porque nós vamos fazer isso com muito cuidado prestando atenção em todos os detalhes. Antes de começar a derivar, uma coisa que é interessante você fazer é arrumar esta função aqui e deixar de uma forma que seja um pouco melhor para aplicar a regra da potência. Então, a gente pode dizer que esta função g(x) vai ser igual a 2 vezes, como este "x" está no denominador, a gente pode colocar ele no numerador trocando sinal do expoente. Lembre-se que todas as vezes que a gente tem 1/xⁿ, isso vai ser igual a x⁻ⁿ, e é isso que a gente fez aqui. A gente pegou este 2/x³ e colocou desta forma, 2x⁻³. Isso menos, aqui a mesma coisa, a gente não tem 1/x²? A gente vai colocar este "x" aqui no numerador trocando sinal do expoente, então, a gente vai ter x⁻². Agora que a gente já fez isso, a gente pode derivar esta função em relação a "x", que é o que nós estamos querendo fazer aqui neste vídeo. Então, derivando g(x) em relação a "x" é a mesma coisa que derivar esse lado em relação a "x". Então, nós vamos tomar a derivada de (2x⁻³ - x⁻²). Bem, a derivada de g(x) é g'(x), então, a gente pode colocar aqui desta forma, g'(x). Isso vai ser igual à derivada desta expressão. Para derivar 2x⁻³, nós podemos utilizar a regra da potência. Fazendo o quê? Colocando este -3 aqui na frente do "x", assim, a gente vai ter 2 vezes -3. Cuidado, a gente não pode substituir o 2 por -3 não, a gente vai colocar o -3 multiplicando este 2 e este "x", vezes x⁻³⁻¹. -3 -1 é igual a quanto? É igual a -4. Então, a gente vai ter x⁻⁴ menos, esse menos que a gente tem aqui, aqui também a gente vai aplicar a regra da potência. Lembrando, que como não tem nenhum número aqui, na verdade a gente tem o número 1, tudo bem? 1x⁻². Colocando o -2 aqui na frente do "x", a gente vai ter 1 vezes -2, e 1 vezes -2 é -2, então, vamos ter (-2)x⁻²⁻¹, e -2 - 1 = -3. Então, a gente já calculou a derivada desta função. Agora, o que a gente precisa é só arrumar isso um pouco para deixar um pouco melhor esse resultado. g'(x) é igual, 2 vezes -3 = -6, então, a gente vai ter -6x⁻⁴. -(-2) = 2, então vamos ter + 2x⁻³. Beleza! E este aqui é o resultado da derivada desta função, então, a derivada de g(x) = -6x⁻⁴ + 2x⁻³. O que a gente precisa fazer, agora, é calcular a derivada quando "x = 2". Então, vamos fazer esse cálculo. A derivada quando ''x = 2" vai ser igual a -6 vezes 2⁻⁴ + 2 vezes 2⁻³. Isto vai ser igual a -6. Aplicando a mesma regra aqui, quando a gente tem o 2⁻⁴, a gente pode pegar o 2 e colocar aqui no denominador trocando sinal do expoente. Então, nós vamos ter -6/2⁴. A mesma coisa aqui, a gente vai ter 2/2³, já que a gente trocou o sinal do expoente. Resolvendo agora essa potência no denominador, nós vamos ter -6/2⁴, e 2⁴ é 16, mais, 2/2³, 2³ = 8. Para resolver esta expressão aqui agora, a gente pode melhorar um pouco e colocar os dois com o mesmo denominador. Para colocar os dois com o mesmo denominador, basta simplificar este primeiro termo. A gente tem -6/16, dividindo por 2 aqui e por 2 aqui, nós vamos ter -3/8. -3/8 + 2/8 = -1/8. Então, se a gente fosse plotar o gráfico desta função g(x) no ponto em que "x = 2", nós vamos encontrar uma reta tangente tendo uma inclinação igual a -1/8. Lembrando, claro, que o resultado da derivada em um ponto "x" qualquer indica para a gente a inclinação da reta tangente passando por aquele ponto.