Derivadas de sen(x) e cos(x)

RKA22JL - E aí, pessoal? Tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar as derivadas das funções trigonométricas sen(x) e cos(x). Eu coloquei o gráfico da função seno aqui, em vermelho, e o gráfico da função cosseno está em azul. E, claro, nessa aula, eu não vou provar nenhuma das duas derivadas. Eu só vou mostrar intuitivamente quanto vale cada uma. E vamos começar com a função sen(x). Lembrando que a derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto. E, começando por esse ponto aqui, parece que a inclinação é zero, ou seja, não tem inclinação na reta. E para termos esse ponto, nós devemos ter esse “x” aqui, e a mesma coisa acontece aqui. Parece que a derivada é zero quando o “x” tem esse valor. Agora, se olharmos nesse ponto, a inclinação está bem próxima de 1, ou seja, a nossa derivada vai ser igual a 1 quando o “x” for igual a zero. E se o “x” for igual a zero, então, a nossa derivada em “x” igual a zero vai ser igual a 1. E olhando para esse ponto, a derivada, ou seja, a inclinação da reta tangente é igual a -1. Portanto, quando o “x” é igual a esse aqui, a derivada recebe o valor de -1. E você já percebeu algo interessante que está acontecendo? Onde quer que a nossa reta tangente esteja passando, a inclinação dela parece coincidir com a função cosseno e, realmente, isso é verdade. A derivada em relação a “x” da função sen(x) é igual ao cos(x). E, claro, nós pegamos alguns pontos-chave, mas, se você observar, a inclinação da reta tangente nesse ponto é igual a 1 e conforme o “x” vai aumentando, essa inclinação vai diminuindo até chegar aqui em zero. E a função cosseno tem o seu maior valor igual a 1 e ela vai decrescendo até chegar aqui e ser igual a zero, ou seja, tem uma relação entre a reta tangente e a função cosseno, ou seja, a derivada em relação a “x” da função sen(x) é igual a cos(x). Mas, claro, nas próximas aulas, eu vou fazer uma prova mais rigorosa a respeito disso. Agora, vamos considerar a função cos(x). Observe que, aqui, a inclinação da reta tangente parece ser zero, portanto, a derivada, nesse ponto, é igual a zero e zero está aqui, que está coincidindo com a função sen(x). Eu ainda não consigo notar uma tendência. Vamos observar outro ponto. Nesse ponto, a inclinação da reta tangente parece ser negativa, parece ser -1. Ou seja, a derivada é igual a -1, e -1 está aqui. Nessa parte, eu já consigo notar uma tendência. Quando temos esse ponto, a função sen(x) recebe o valor de 1, e a derivada é igual a -1, ou seja, números opostos. Então, talvez, a derivada do cosseno em relação a “x” possa ser igual ao oposto de sen(x). Deixe-me colocar aqui a função -sen(x) no meu gráfico para ver o que acontece. Eu coloquei aqui o gráfico de “y” igual a -sen(x) e note que esse gráfico parece coincidir com a derivada desse ponto, que é igual a -1. Nesse ponto, a derivada, ou seja, a inclinação da reta, é igual a zero e -sen(x) também é igual a zero. Ou seja, a derivada do cos(x), em relação a “x”, é igual a -sen(x). É importante conhecer essas duas derivadas porque elas vão ser muito importantes no estudo de cálculo e, claro, nessa aula, nós só vimos isso de forma intuitiva, mas, nos próximos vídeos, nós vamos prová-las. E eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!