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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 2

Lição 9: A regra do produto
Matemática
Cálculo Avançado AB
Diferenciação: definição e regras básicas de derivação
A regra do produto
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Revisão da regra do produto

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Revise seus conhecimentos sobre a regra do produto para derivadas, e use-a para resolver problemas.

O que é a regra do produto?

A regra do produto nos diz como derivar expressões que são o produto de duas outras expressões mais simples:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket
Basicamente, você toma a derivada de f multiplicada por g, e soma a f multiplicada pela derivada de g.
Quer saber mais sobre a regra do produto? Confira este vídeo.

Que problemas posso resolver com a regra do produto?

Exemplo 1

Considere o cálculo da derivada de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis a seguir:
=h′(x)=ddx(ln⁡(x)cos⁡(x))=ddx(ln⁡(x))cos⁡(x)+ln⁡(x)ddx(cos⁡(x))Regra do produto=1x⋅cos⁡(x)+ln⁡(x)⋅(−sen⁡(x))Derive ln⁡(x) e cos⁡(x)=cos⁡(x)x−ln⁡(x)sen⁡(x)Simplifique\begin{aligned} &\phantom{=}h'(x) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(\ln(x)\cos(x)) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(\ln(x))\cos(x)+\ln(x)\dfrac{d}{dx}(\cos(x))&&\gray{\text{Regra do produto}} \\\\ &=\dfrac{1}{x}\cdot \cos(x)+\ln(x)\cdot (-\operatorname{sen}(x))&&\gray{\text{Derive }\ln(x)\text{ e }\cos(x)} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)}{x}-\ln(x)\operatorname{sen}(x)&&\gray{\text{Simplifique}} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 1
  • Atual
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, e, start superscript, x, end superscript
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Quer resolver mais problemas como esse? Confira este exercício.

Exemplo 2

Suponha que recebemos esta tabela de valores:
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4minus, 413space, space, space, 08
H, left parenthesis, x, right parenthesis é definida como f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis e temos que encontrar H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.
A regra do produto nos diz que H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis é f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. Isso significa que H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis é f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis. Agora vamos substituir os valores da tabela na expressão:
H′(4)=f′(4)g(4)+f(4)g′(4)=(0)(13)+(−4)(8)=−32\begin{aligned} H'(4)&=f'(4)g(4)+f(4)g'(4) \\\\ &=(0)(13)+(-4)(8) \\\\ &=-32 \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 1
  • Atual
xg, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 22minus, 134
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, h, left parenthesis, x, right parenthesis
F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Quer resolver mais problemas como esse? Confira este exercício.

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  • Avatar blobby green style do usuário fcristina.uefs
    Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “Se eu preciso encontrar o...” de fcristina.uefs
    Se eu preciso encontrar o máximo e mínimo da segunda derivada que é e^2x, como faço? Para descobrir, preciso igualar a equação a zero, entretanto como vou desenvolver e^2x = 0?
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
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