Regra do quociente

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar a regra do quociente para derivadas. E, claro, nesta aula, eu não vou provar isso. Nos próximos vídeos, sim, eu vou provar utilizando a regra do produto. O que nós vamos ver aqui é como utilizar esta regra do quociente. Então, por exemplo, vamos dizer que nós temos aqui uma função f(x) que vai ser igual ao quociente das funções u(x) e v(x). E a derivada desta função f(x) vai ser igual à derivada da função u(x) vezes a função v(x) menos a função o u(x), vezes a derivada da função v(x). E observe que isto aqui se parece bastante com a regra do produto para derivadas, e a diferença é que aqui é um "menos", e nós dividimos isso tudo pela função v(x)². Ok, eu admito que isto aqui parece um pouco complicado, mas, vamos ver, na prática, como funciona? Vamos dizer que nós temos aqui uma função f(x), que é igual a x² dividido por cosseno de "x". Primeiro, vamos identificar quem é u(x) e quem é v(x). Este x² aqui é a função o u(x) e a derivada desta função vai ser igual a 2x, isso porque nós aplicamos a regra da potência para derivadas aqui. E este cosseno de "x" vai ser a função v(x) e a derivada desta função vai ser igual à derivada do cosseno de "x", que é a mesma coisa que -sen x. Portanto, para calcular a derivada da função f(x), nós vamos utilizar esta regra aqui. Portanto, a derivada de u(x) = 2x. Então, 2x vezes a função v(x), que é cos x, e subtraímos isso pela função u(x), que neste caso é x². E multiplicamos isso pela derivada da função v(x) que no caso é -sen x. Deixe-me colocar entre parênteses. Vezes (-sen x). E dividimos isso pelo quadrado da função v(x). Ou seja, dividimos pelo (cos x)². E, nesta parte, o ideal é simplificar, não é? Vamos lá! Nós temos aqui 2x que multiplica o cosseno de "x". E aqui eu tenho um sinal de negativo, e aqui outro sinal de negativo. Vamos ficar com mais x² que multiplica seno de "x". E dividimos isto pelo cos² x. Com isso, encontramos a derivada da função f(x). Você pode tentar simplificar mais aqui, mas eu acho que essa é a forma mais simplificada. E uma coisa importante é que nas próximas aulas você vai ver algo que chamamos de regra da cadeia. E você vai ver que conseguimos representar esta regra do quociente utilizando a regra do produto e a regra da cadeia. Mas, por ora, saiba que isto aqui é bastante importante e muito útil nos estudos de cálculo. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!