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Derivação de funções racionais

Neste vídeo, derivamos a função racional (5-3x)/(x²+3x). Essa função (e qualquer outra função racional) pode ser derivada usando a regra do quociente!

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Transcrição de vídeo

RKA1JV - Neste vídeo, nós vamos calcular a derivada dessa função: y = 5 - 3x sobre x² + 3x. Como nós podemos observar, nós temos aqui uma divisão de duas funções. E quando nós temos uma divisão de duas funções, a gente pode utilizar a regra do quociente para conseguir calcular a derivada desta função. Para a gente começar a fazer isso aqui, a primeira coisa que vou fazer é substituir essas duas funções aqui por essa daqui, u(x) Ou seja, eu vou dizer que u(x) é igual a "5 menos 3x", isso sobre v(x). Estou falando que "x² mais 3x" é igual à função v(x). Aí sim, nós temos aqui a divisão entre duas funções. Vamos lá então. Aqui nós queremos calcular a derivada de "y" em relação a "x". Como nós podemos fazer isso? Como eu disse, para calcular essa derivada, nós podemos aplicar a regra do quociente. E o que a regra do consciente diz para a gente? Ela diz para a gente que quando nós queremos calcular a derivada de uma função em que essa função é igual à divisão entre duas funções, nós vamos derivar, em relação a "x", a primeira função. Nesse caso, u(x), depois, nós vamos multiplicar pela segunda função que é essa aqui que está no denominador. Ou seja, v(x). Vamos subtrair pela primeira função, ou seja, u(x) vezes a derivada da segunda função, ou seja, derivada em relação a "x" d/dx [v(x)]. Depois, a gente vai pegar tudo isso aqui e dividir pela segunda função elevada ao quadrado. Ou seja, por v(x)². Agora que fizemos isso, nós podemos começar a trabalhar aqui no resultado. Vamos lá, nós temos aqui a derivada em relação a "x" de u(x). E qual seria a derivada em relação a "x", de u(x)? Como nós sabemos aqui, u(x) é igual a 5 menos 3x. Vamos derivar esse u(x) aqui. A derivada em relação a "x" da função u(x) é igual à derivada de 5 menos 3x. E a derivada de 5 menos 3x é igual a -3. Afinal de contas, 5 é uma constante e derivando -3x, a gente vai ter apenas -3. Nós podemos vir aqui e substituir a derivada em relação a "x" de u(x) por -3, porque é o que nós vimos aqui. Isso vezes v(x), e quanto que é v(x)? v(x) é igual a x² mais 3x. Então a gente vem aqui e faz essa substituição, v(x) vai ser igual a x² mais 3x. E u(x), conforme já vimos, é igual a 5 menos 3x, isso vezes a derivada em relação a "x" de v(x). E qual seria a derivada de v(x) em relação a "x"? Basta derivar "x² mais 3x" em relação a "x". Vamos lá, derivada em relação "x" de v(x) é igual à derivada de x² mais 3x, ou seja, 2x mais 3. Nós podemos substituir isso aqui por 2x mais 3. Aplicando a distributiva aqui nessa parte de cima, nós vamos ter o quê? -3 vezes x² - 3 vezes 3x. Isso vai ser igual a -3 vezes x² menos, 3 vezes 3 que é 9x, menos, abre um parênteses aqui, aqui também vamos aplicar a distributiva. A gente vai multiplicar o 5 com 2x, 5 vezes 2x é igual a 10x. Vamos multiplicar esse 5 com 3, 5 vezes 3 é igual a 15. Vamos ter aqui 10x mais 15. Agora, vamos pegar esse -3x e multiplicar com 2x, assim a gente vai ter -6x². E -3x vezes 3 é igual a -9x, isso dividido por v(x)². E v(x)², conforme já vimos aqui, é igual a x² mais 3x. Nós vamos fazer essa substituição aqui, a gente vai ter x² mais 3x. Só que isso aqui elevado ao quadrado, isso aqui elevado ao quadrado. Isso vai ser igual a quanto? Vamos tentar trabalhar, vamos repetir essa primeira parte aqui que a gente vai ter -3x² - 9x. Vamos trabalhar com isso aqui que está dentro dos parênteses. Aqui a gente tem 10x -9x, 10x - 9x é igual a "x", a gente pode cortar isso aqui com isso, a gente vai ter apenas o "x". Então "-x", a gente vai ter "-x", esse (-) porque a gente tinha um sinal de menos (-) aqui fora dos parênteses. Aqui a gente tem 15, não tem? Então, a gente vai ter aqui -15, -15 menos 6x². Só um detalhe, aqui eu tinha um sinal de menos, então, é menos vezes -6x², isso vai ser igual a +6x². Tudo bem? E isso dividido por x² mais 3x². Resolvendo isso aqui agora, a gente tem aqui -3x² mais 6x², isso vai ser igual a 3x² menos 9x menos "x", é igual a -10x. Podemos também vir aqui e substituir -10x, -15. Então, o resultado de toda essa expressão aqui vai ser igual a 3x² - 10x - 15 sobre x² + 3x². Esse é resultado aqui da derivada dessa função. E a gente tem aqui uma divisão entre duas funções. Um detalhe, a gente também poderia utilizar a regra do produto para fazer isso aqui, mas é interessante já conhecer a regra do quociente, porque facilita bastante na hora de resolver um problema como esse, ok? Aquele forte abraço, e até o próximo vídeo!