Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Limite de (1-cos(x))/x conforme x se aproxima de 0

Demonstração de que o limite de (1-cos(x))/x quando x se aproxima de 0 é igual a 0. Isso será útil para provar a derivada de sen(x).

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA4JL - O que vamos fazer neste vídeo é calcular o limite com x tendendo a zero de (1 menos cos x) sobre x. Para isso vamos usar um limite muito importante que já foi demonstrado em um vídeo especialmente dedicado a ele, que é limite com x tendendo a zero de sen x sobre x, que resulta em 1. Existe um vídeo dedicado à demonstração deste famoso limite, e para demonstrá-lo usamos o teorema do Sanduíche. Vamos então ver o que acontece no limite que queremos calcular. Primeiro vou manipular um pouco essa expressão. Primeiro eu vou multiplicar o numerador e denominador por (1 mais cos x). Estou multiplicando o numerador e o denominador pela mesma quantidade, então não altero a fração que eu já tinha. É como multiplicar por 1. Vamos reescrever e simplificar, observando que no numerador (1 menos cos x) vezes (1 mais cos x), e aplicando o produto notável, isso resulta em 1 menos cos² x e no denominador vamos ter x vezes (1 mais cos x). Mas o que é 1 menos cos² x? Existe aquela identidade trigonométrica chamada "relação trigonométrica fundamental" que diz que isso resulta exatamente em sen² x. Vamos reescrever aqui. Isso tudo vai ser igual ao limite com x tendendo a zero e sen² x é sen x vezes sen x. Aqui eu vou separar em duas partes, vou ter o primeiro sen x sobre o fator x do denominador vezes o segundo fator sen x do numerador sobre (1 mais cos x). Feita esta pequena manipulação algébrica, que utilizou inclusive a relação trigonométrica fundamental, temos aqui o limite do produto destas duas expressões que pode ser reescrito como o produto dos limites dessas expressões. Então posso escrever aqui o limite com x tendendo a zero de (sen x sobre x) vezes o limite com x tendendo a zero de sen x sobre (1 mais cos x). Agora esta primeira parte, este primeiro limite, já foi provado em outro vídeo que vale exatamente 1, é um limite bem famoso. Então todo esse limite que nós estamos estudando vai ser igual, simplesmente, a este segundo limite que temos aqui. Estudando esta expressão, quando x tende a zero o sen 0 é zero, e no denominador, cos 0 é 1, então 1 mais 1, 2, mais zero do numerador dividido por 2 dá zero. Este limite todo, então, tende a zero. Finalmente temos então que o limite todo que estamos procurando vai ser 1 vez zero. Portanto, zero. Então usando um pouquinho de técnica algébrica e da relação trigonométrica fundamental, conseguimos calcular o limite com x tendendo a zero de (1 menos cos x) sobre x e esse limite resulta em exatamente zero. Eu sugiro que você tente verificar isso graficamente. Faça o gráfico dessa função definida por (1 menos cos x) sobre x e procure verificar o que acontece com o limite com x tendendo a zero. É um outro ponto de vista bastante interessante. Até o próximo vídeo!