Prova da derivada de sen(x)

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos provar que a derivada do seno de "x" é igual a cosseno de "x". E lembrando também que a derivada do cosseno de "x" é igual a menos seno de "x". E, claro, nós vamos utilizar estas duas coisas para provar coisas mais complicadas no futuro. Mas, enfim, nesta aula nós provamos isso e na próxima provamos a derivada do cosseno. Lembrando que a derivada em relação a "x" de seno de "x" é igual ao limite quando o Δx tende a zero de sen(x + Δx) menos sen(x), dividido por Δx. Lembrando que este limite representa a inclinação da reta. E como podemos resolver esta parte aqui? Nós podemos utilizar a soma de arcos. Lembrando que sen(a + b) é igual ao seno de "a" vezes o cosseno de "b", mais o cosseno de "a" vezes o seno de "b". E, com isso, nós vamos ter o limite com Δx tendendo a zero. E, para facilitar as contas, eu vou escrever esta parte aqui primeiro. Então, vamos ter o limite com Δx tendendo a zero de cosseno de "x" vezes o seno de Δx, mais o seno de "x" vezes o cosseno Δx. E ainda temos este -sen(x) aqui. Então, -sen(x), e dividimos tudo isto por Δx. Isso vai ser igual ao limite com Δx tendendo a zero. Eu posso separar esta parte que é cos(x) vezes o sen(Δx) sobre Δx. Mais esta parte aqui, que é sen(x) vezes o cos(Δx), menos sen(x) dividido por Δx. Ou seja, eu transformei isto aqui em uma soma de duas coisas. E lembre-se que o limite da soma é igual à soma dos limites. Com isso, nós vamos ter o limite com Δx se aproximando de zero, disso aqui que eu posso reescrever como cos(x) vezes sen(Δx) sobre Δx, mais o limite quando o Δx se aproxima de zero, disso aqui, que eu posso fatorar, colocando o sen(x) em evidência. E aí, eu vou ficar com o sen(x), que multiplica o cos(Δx). Então, vezes o cos(Δx) - 1. Isso porque sen(x) vezes -1 vai dar -sen(x). E nós dividimos isto aqui por Δx. Será que nós conseguimos simplificar isso um pouco mais? Deixe-me descer aqui e vamos ver o que podemos fazer. Observe que este cos(x) é uma constante. Então, eu posso jogá-lo para frente do nosso limite ficando com cos(x) que multiplica o limite quando Δx se aproxima de zero, de sen Δx/Δx. E ainda precisamos somar com esta parte. Será que conseguimos simplificá-la? Olhando esta expressão, eu acho que é ideal reescreve-la como 1 - cos(Δx). Com o menos aqui do lado de fora. Ou seja, o sen(x) vezes alguma coisa negativa. E sinais diferentes na multiplicação, tem o resultado de um sinal negativo. Então, eu posso colocar um menos aqui e jogar este sen(x) para frente do limite ficando com -sen(x) vezes o limite de Δx tendendo a zero de 1 - cos(Δx) dividido por Δx. E aqui, uma coisa importante que eu não vou provar nesta aula. Provavelmente, eu vou provar quando falarmos de algo que chamamos de Teorema do Sanduíche. O limite de sen(Δx) sobre Δx, quando Δx tende a zero, é igual a 1. E que este limite aqui é igual a zero. Então, basicamente, eu manipulei algumas coisas para chegar nestes dois limites que nós conhecemos. E a prova disso, nós vamos ver em futuras aulas. E observe que zero vezes qualquer coisa, vai dar zero. Então, toda essa parte vai sumir. E vamos ficar apenas com cos(x) vezes 1, que é igual a cos(x). Ou seja, nós provamos que a derivada do sen(x) é igual a cos(x). Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!