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Demonstração da regra da potência para a função de raiz quadrada

Transcrição de vídeo

nesse vídeo eu quero te mostrar a prova da derivada da raiz quadrada ok então que nós queremos aqui encontrará derivada em relação à x obviamente da raiz quadrada e x pra gente realizar a demonstração de uma derivada a gente precisa calcular a derivada através da definição e como que a gente consegue calcular derivada de uma função através da definição bem pra fazer isso a gente vai usar a idéia do limite então a gente tem um limite do delta x tendendo a zero lembre se que alguns livros vai colocar aqui que é o ágata em deus no x onde o delta x vai ser o h - o x ok então a gente tem aqui que é derivada em relação à x de uma determinada função é igual ao limite com delta x tendendo a zero dessa função avaliada no ponto x + delta x então a gente vai ter aqui a raiz quadrada de x + delta x - essa função no ponto x a gente vai ter raiz quadrada de x tudo isso dividido pelo próprio delta x ok agora uma forma interessante da gente calcular isso daqui ok a gente substitui o delta x é que por 0 a gente vai chegar numa determinação e aí a gente não vai conseguir calcular esse limite uma forma de eliminar essa determinação seria encontrando uma outra função em que o limite nesse ponto delta x tendendo a zero tenha esse mesmo valor e uma forma de fazer isso seria multiplicando essa função aqui por isso é que está aqui em cima mas trocando o sinal aqui ao invés de aquecer - a gente colocar mais então por exemplo a gente vai pegar multiplicar isso tudo aqui pela raiz quadrada de x + delta x ao invés de ter uma subtração gente vai ter uma adição da raiz quadrada de x e como agente multiplicou aqui em cima por essa expressão aqui a gente também precisa multiplicar que o denominador pela mesma expressão porque aí a gente não altera o resultado dessa função então a gente vai ter que a raiz quadrada de x mas sanchez mas a raiz quadrada de x porque tendo essa expressão aqui no numerador e no denominador a gente não altera o resultado aqui da função tudo bem agora que a gente fez isso a gente pode utilizar algumas propriedades da matemática por exemplo a gente sabe que a + b vezes a menos b é igual a ao quadrado a elevada ao quadrado - b elevada ao quadrado e é justamente o que a gente tem é que a gente tem aqui a + b vise sa - b então a gente pode ter que ao quadrado que essa parte - b o quadrado que é essa parte aqui então continuamos aqui embaixo a derivada em relação à x da raiz quadrada de x é igual ao limite com o delta x tendendo a zero de ao quadrado ou seja a raiz quadrada de x + delta x elevada ao quadrado que é igual à x + delta x então nós vamos ter aqui x + delta x - bem elevada ao quadrado ou seja menos a raiz quadrada de x elevada ao quadrado que é igual ao próprio x isso aqui / delta x vezes tudo isso aqui em baixo então a gente vai ter aqui delta x vezes a raiz quadrada de x + delta x mais a raiz quadrada de x beleza vamos calcular isso aqui agora x - x é igual a zero sobrando apenas o delta xis aqui no numerador só que aqui a gente tem um delta x em evidência no denominador certo então a gente vai ter delta x / delta x que é igual a 1 então isso é que vai ser igual ao limite com delta x tendendo a zero de um sobre essa parte que sobrou certo a raiz quadrada de x + delta x mas a raiz quadrada de x vem calculando isso aqui no limite onde delta x tende a 0 a gente vai ter um sobre como delta x tende a zero essa parte que vem pra 0 certo então a gente vai ter apenas a raiz quadrada de x mas a raiz quadrada de x então a gente vai ter que como resposta um sobre a raiz quadrada de x mais a raiz quadrada de x é igual a duas vezes a raiz quadrada de x então a gente tem que a derivada da raiz quadrada de x em relação à x é igual a 1 sobre duas vezes a raiz de x que a mesma coisa que um sobre 2 vezes x elevado a - um sobre dois ou seja menos meio beleza então essa é a resposta que dá derivada da raiz quadrada de x lembrando que isso aqui está de acordo com a regra da potência que a gente fez lá para os poloneses então lembrando sempre que a gente tem o polônio a gente tem que a derivada em relação à x para esse polônia ou seja para x elevado a eni isso é que vais igual a esse n visite x elevado a eni - 1 nesse caso que a gente tinha x elevado a 1 sobre dois certo então a gente vai ter um sobre dois vizinhos x elevado a 1 sobre 2 - 1 que vai ser igual a menos 1 sobre dois então isso aqui está de acordo com a nossa regra da potência para os derivados de polônia us
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