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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 2
Lição 12: Vídeos opcionais- Prova: derivabilidade implica continuidade
- Justificativa da regra da potência
- Demonstração da regra da potência para potências formadas por números inteiros e positivos
- Demonstração da regra da potência para a função de raiz quadrada
- Limite de sen(x)/x conforme x se aproxima de 0
- Limite de (1-cos(x))/x conforme x se aproxima de 0
- Prova da derivada de sen(x)
- Prova da derivada de cos(x)
- Demonstração da regra do produto
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Limite de sen(x)/x conforme x se aproxima de 0
Demonstração de que o limite de sen(x)/x, conforme x se aproxima de 0, é igual a 1. Se você acha isso confuso, veio ao lugar certo!
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - O que vamos fazer nesse vídeo é provar que o limite com θ [teta]
tendendo a zero de sen de θ sobre θ
é igual a 1. Vamos usar uma série de técnicas trigonométricas. Aqui temos o círculo unitário em branco. Qual é o comprimento deste segmento cor de laranja? Observe que esse comprimento
é exatamente a ordenada do ponto onde o raio do círculo
intersecta o círculo e o segmento. Por definição das funções trigonométricas, o comprimento deste segmento
é exatamente o seno do ângulo θ e de fato,
aqui estamos falando do valor absoluto, o módulo do sen θ. E este segmento azul? Posso expressar o comprimento dele
em termos de alguma função trigonométrica? Vamos nos lembrar de uma coisa:
o que é a tangente do ângulo θ? Lembre-se de que a tangente do ângulo θ é a medida do cateto oposto ao ângulo θ dividida pela medida do cateto adjacente
ao ângulo θ. Se olhamos para este triângulo na borda, temos nosso ângulo θ em radianos, este segmento azul é justamente
o cateto oposto ao ângulo θ e o cateto adjacente ao ângulo θ
é justamente o raio do círculo, que é 1. Então aqui a tangente do ângulo θ
é exatamente a medida do cateto oposto ao ângulo θ, e tal qual antes, este é o valor positivo para a tangente
aqui no primeiro quadrante. Mas eu quero trabalhar com situações
envolvendo o primeiro e o quarto quadrantes, então eu vou usar o valor absoluto
da tangente do ângulo θ. Vamos pensar sobre alguns triângulos
e as suas áreas. Deixe-me desenhar um triângulo aqui
para começar e um triângulo acompanhando aqui
como se fosse uma fatia dessa torta do círculo. Neste triângulo, vamos pensar sobre sua área. Vou hachurar a área dele
para que fique fácil de entender. Qual é a expressão que determina essa área? Lembre-se de que para calcular
a área de um triângulo podemos fazer ½
vezes a base vezes altura. Sabemos que a altura é justamente sen θ e sabemos também que a base
é o raio do círculo unitário, que é 1. Então a área que vai ser ½
vezes a base, que é 1, vezes sen θ, que é a altura.
Seno de θ em valor absoluto. Reescrevendo de forma simplificada, estamos falando
do módulo sen θ sobre 2. Vamos, agora, pensar na área deste setor circular. Que fração do círculo todo essa área representa? Se a volta inteira tem 2π, então a fração representada pelo ângulo
que determina o setor circular é θ sobre 2π. Essa é a fração do círculo
correspondente ao setor circular. Então a área do setor circular
é θ sobre 2π vezes π vezes raio ao quadrado, que nesse caso é π vezes 1²,
ou simplesmente π. Simplificando, a área deste setor circular
é θ sobre 2 e como estamos tratando com a possibilidade
de θ estar também no quarto quadrante, então vamos tratá-lo em valor absoluto. Vamos agora pensar sobre este triângulo maior
que eu vou destacar em azul. De novo, a área aqui é ½
vezes base vezes altura. Estamos falando dessa área inteira. Vai ser ½ vezes a base,
que é o raio do círculo unitário, portanto 1, vezes o tamanho desse segmento azul,
que é o módulo da tangente do ângulo θ, ou simplesmente, simplificando,
½ vezes 1 vezes tg θ temos simplesmente tg θ sobre 2, módulo da tg θ sobre 2. Agora vamos comparar as áreas destas três figuras. O triângulo menor destacado em cor-de-rosa, o setor circular destacado em laranja e o triângulo maior azul. Evidentemente a área do triângulo cor-de-rosa
vai ser menor ou igual à área do setor circular que vai ser menor ou igual
à área do triângulo azul. Observe que o setor circular
tem a área do triângulo cor-de-rosa mais esta cunha aqui e o triângulo azul inclui a área do setor circular
mais esta outra área externa. Dessa forma podemos visualmente identificar que esta afirmação, estas desigualdades, são verdadeiras. Agora eu vou fazer um pouco de manipulação algébrica. Vou multiplicar tudo por dois para,
evidentemente, simplificar aqui de maneira que ao reescrever
vamos ter o módulo do sen θ menor ou igual ao módulo de θ menor ou igual ao módulo
da tg θ e aqui na tg θ,
que é sen θ sobre cos θ, podemos escrever módulo do sen θ
sobre módulo do cos θ. Esta fração substitui o módulo da tg θ. Agora eu posso dividir toda esta desigualdade
pelo valor absoluto de sen θ. Observe que estou dividindo por um valor positivo,
então não vai modificar o sentido das desigualdades. Escrevendo, então, (módulo sen θ)
sobre (módulo sen θ), módulo θ sobre módulo sen θ e essa fração final
multiplicamos por (1 sobre módulo sen θ), que é mesma coisa
que dividir pelo módulo sen θ. O que vamos conseguir com isso? Aqui nós temos 1. Aqui no final, cancelando sen θ com sen θ temos 1 sobre cos θ. Meu próximo passo é tomar o inverso
de cada membro das desigualdades, mas eu preciso me lembrar de que quando eu inverto
os membros das desigualdades o sentido delas tem que ser trocado também. Começando por aqui, o inverso de um
é simplesmente 1. Agora o sinal, que era menor ou igual,
passa a ser maior ou igual. O (módulo de θ) sobre (módulo sen θ) passa a ser (módulo sen θ)
sobre (módulo de θ) e isso vai ser maior ou igual
ao inverso de (1 sobre cos θ), ou seja, cos θ. Retomando, nós estamos falando do θ
aproximando-se de zero pelo primeiro
ou pelo quarto quadrante. Se estivéssemos no primeiro quadrante, então θ é positivo
e sen θ também é positivo. Por outro lado, no quarto quadrante, θ é negativo
e sen θ também é negativo, de forma que escrever essa expressão
com os valores absolutos é desnecessário porque se eles têm sempre o mesmo sinal,
ao dividir, isso vai dar um resultado positivo. Olhando para o cosseno também podemos tirar
as barrinhas do módulo porque, já que o cosseno é a abcissa do ponto de intersecção
do círculo do raio e do segmento alaranjado, então ele sempre é positivo. No primeiro ou no quarto quadrantes
o cosseno é positivo. Aqui vamos dar uma olhada
e imagine que estamos falando de três funções: a primeira a função f(x), que é 1, a segunda função g(x)
e a terceira, h(x), e no intervalo que estamos considerando, ou seja, para θ entre (-π sobre 2)
e (π sobre 2) essas desigualdades são verdadeiras
para qualquer valor de θ. Observe que (sen θ) sobre θ
é definido nesse intervalo exceto quando θ é igual a zero. Agora já estamos muito próximos
de conseguir obter limite. Pelo Teorema do Sanduíche,
se isso é verdade no intervalo considerado, sabemos também que a seguinte afirmação
é verdadeira: o limite com θ se aproximando a zero
desta primeira função, que é 1, é maior ou igual
ao limite com θ tendendo a zero de (sen θ) sobre θ (e é justamente nesse limite
que estamos de olho) e ele é maior que ou igual
ao limite com θ tendendo a zero de cos θ. Este primeiro limite aqui
é claramente igual a 1, o segundo limite
é justamente o que estamos estudando e este terceiro limite, limite de cos θ
quando θ a tende a zero, já que o cos θ é uma função continua, então o cosseno zero sendo 1,
este limite vale 1. Assim o limite que estamos estudando
vai ser menor ou igual a 1 e maior ou igual a 1. A conclusão a que chegamos é que esse limite
tem que ser exatamente igual a 1. Pronto. Até o próximo vídeo!