Exemplo resolvido: derivada de √(3x²-x) usando a regra da cadeia

RKA14C Neste vídeo, eu vou falar um pouco sobre a regra da cadeia e dar um exemplo para que fique mais clara a aplicação dessa regra da cadeia. O que diz a regra da cadeia? Você tem a função composta f(g(x)). Ora, quando nós vamos tirar a derivada d/dx de f(g(x)), nós não podemos tirar diretamente, pois essa função é uma função de uma função. Ou seja, a variável que nós estamos aplicando está dentro de g(x). Mas, se esta função varia com x, e esta função varia com uma função que varia com x, nós temos a regra da cadeia que nos diz que a derivada desta função composta vai ser a derivada da primeira em relação a g(x) vezes a derivada de g(x). Colocando dessa forma, pode ficar um pouco abstrato. Vamos colocar em forma de exemplo. Vamos supor que, a sua função, você queira derivar em relação a x: √3x² - x. Quem você vai identificar como f(x)? Quem você vai identificar como g(x)? Ou seja, quem vai ser a função da função? Ora, você pode pensar da seguinte forma: uma função está dentro da raiz, então temos que f(x) = √x é a função da função interna. Então, nós temos: g(x) = 3x² - x. Agora, queremos derivar esse f(g(x)) em relação a g(x). Derivando f(x) em relação a x, nós vamos ter f'(x) = 1/2 x⁻¹/². Ora, mas este x aqui é o nosso g(x). Nós estamos derivando f(x) em relação a g(x). Portanto, nosso f(g(x)) = √g(x), que é a nossa expressão que está aqui dentro. Portanto, a derivada f'(g(x)) vai ser igual a 1/2 (g(x))⁻¹/². Então, pegamos esta primeira parte, ou seja, a derivada de f em relação g(x), que vai ser 1/2 g(x). Mas nós sabemos quem é g(x). E a derivada de g(x) é mais simples. A derivada de g(x) vai ser igual a 6 vezes x - 1. Essa é a derivada de g(x). Então, nós temos essa segunda expressão. Como queremos a derivada de f(g(x)), nós vamos ficar com: f'(g(x)) = 1/2 de... Quem é g(x)? É 3x² -x. Tudo elevado a -1/2, vezes g'(x), que é 6x - 1. Com isso, encontramos a derivada de uma função composta utilizando a regra da cadeia. Ou seja, derivamos a primeira em relação ao g(x). O g(x) ficou intacto aqui. Então, nós ficamos com 1/2 g(x) como se g(x) fosse uma variável qualquer, elevado a -1/2, vezes a derivada do que está aqui dentro, que, no caso, é a nossa função g(x). Ou seja, esse é g'(x), portanto, utilizamos a regra da cadeia para derivar uma função composta.