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Como identificar funções compostas

Revisão de funções compostas e como reconhecê-las. Essa é uma habilidade valiosa quando usamos a regra da cadeia no cálculo.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar as funções compostas e vamos aprender a identificá-las. E, claro, se você não tem nenhuma noção deste conteúdo, eu sugiro que você dê uma olhada nos vídeos de álgebra da Khan Academy. Lá tem muitas aulas a respeito disso. E, claro, eu estou revisando este conteúdo, porque é algo que utilizamos bastante no cálculo, principalmente, quando falamos de regra da cadeia. Então, vamos revisar o que é uma função composta. Digamos que eu tenha aqui uma função f(x) = 1 + x, e uma função g(x) = cos x. Qual seria a função f(g(x))? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Ok, vamos lá! Uma maneira de pensar nisso é que agora a entrada de "f" não é mais "x" e sim g(x). Portanto, onde estiver o "x", nós vamos colocar a função g(x). Portanto, f(g(x)) = 1 + g(x), sendo que g(x) = cos x. Com isso, no lugar de g(x), nós podemos colocar cosseno de "x". E uma maneira de entender isso é que eu estou colocando no lugar do "x" a função "g". Então, o "x" vai para a função "g", o que produz g(x) e que você pega e coloca dentro da função "f". Ou seja, a saída de g(x) nós colocamos na função "f". E o resultado disso vai ser f(g(x)). E com isso entendido, vamos ver se conseguimos expressar alguma função como a composição de outras duas funções. Vamos dizer, então, que eu tenha aqui uma função g(x) que é igual ao cosseno de seno de x + 1. E eu quero que vocês saibam que existem diferentes maneiras de escrever uma mesma função como composição de outras. E, sabendo disso, eu sugiro que você pause o vídeo e tente escrever esta função como composição de outras duas. Vamos lá, então! A melhor maneira de identificar composições de funções é começar olhando para as funções interiores. E se você perceber, nós temos esta função seno de "x" aqui, que eu vou chamar de u(x). Porque eu já tenho "f" aqui, não é? Com isso, esta função "g" é cosseno de u(x) + 1. Basicamente, o que nós temos aqui é uma função que eu vou chamar de v(x) = cos x + 1. E esta função "g" é a composição entre esta função v(x) e esta função u(x). Isso quer dizer que no lugar do "x", nós colocamos este seno de "x", que é a função u(x). E se nós escrevermos isso aqui, nós vamos ter v(u(x)). Ou seja, a função "v" composta da função u(x) e que é igual a cos x + 1. Sendo que o "x", neste caso, vai ser a função u(x) = sen x. Deixe-me escrever isto aqui. u(x) = sen x. Portanto, no lugar deste "x", eu coloco sen x. Ou seja, é exatamente o que tínhamos aqui. Então, esta função "g" é uma composição da função v(x) e da função u(x). Você pode reescrever esta função "g", até mesmo como uma composição de três funções. Por exemplo, vamos dizer que a função w(x) seja igual a x + 1. E se quisermos descobrir w(u(x)), isso vai ser igual a x + 1. Então, mais 1 e u(x) aqui. E quem vai entrar no lugar do "x"? A função u(x). E quem é u(x)? É seno de "x". Portanto, w(u(x)) = sen x + 1. Mas eu ainda posso colocar uma função h(x) aqui que é igual ao cosseno de "x". E, com isso, eu posso escrever g(x) como uma composição entre estas três funções. Ou seja, g(x) vai ser a mesma coisa que h(w(u(x))), que pegar a função w(u(x)) e substituir aqui no lugar deste "x". Então, vamos ter cos w(u(x)). E quem é w(u(x))? É sen x + 1. Portanto, eu posso colocar aqui dentro, sen x + 1. Ou seja, nós reescrevemos g(x) como a composição destas três funções. Então, este h(w(u(x))) = g(x). E o ponto principal desta aula, é a importância de reconhecer funções compostas. Ou seja, você pode reescrever uma mesma função de diferentes maneiras. E é importante, também, saber que nem tudo é composição de funções. Por exemplo, deixe-me descer aqui e colocar uma função f(x) = cos x vezes sen x. Este é o caso que é muito difícil expressar a função como composição de funções. É mais fácil representá-la como produto de duas funções. Por exemplo, eu posso chamar este cos x de uma função u(x). E o seno de "x" de v(x). E, com isso, reescrever f(x) como u(x) vezes v(x). Ou seja, um produto de duas funções. O que podemos fazer é uma composição entre estas duas funções. Por exemplo, nós podemos escrever "u" composta de v(x). E qual é a função u(x)? É cos x. Então, vamos ficar com cosseno de alguma coisa, que, neste caso, é a função v(x), que é seno de "x". Então, cos (sen(x)). Ou seja, nós escrevemos uma composição entre estas duas funções que, neste caso, foi "u" composta de "v". Mas se você quisesse, você também poderia escrever o contrário. Ou seja, "v" composta de "u". Mas, de qualquer jeito, você não consegue escrever essa função "f" como uma função composta entre u(x) e v(x). Portanto, é importante você aprender a reconhecer quando tem uma função composta, ou quando tem um produto de funções. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!