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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3
Lição 1: A regra da cadeia: introdução- Regra da cadeia
- Erros comuns na regra da cadeia
- Regra da cadeia
- Como identificar funções compostas
- Como identificar funções compostas
- Exemplo resolvido: derivada de cos³(x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de √(3x²-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de ln(√x) usando a regra da cadeia
- Introdução à regra da cadeia
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Como identificar funções compostas
Revisão de funções compostas e como reconhecê-las. Essa é uma habilidade valiosa quando usamos a regra da cadeia no cálculo.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar
as funções compostas e vamos aprender a identificá-las. E, claro, se você não tem nenhuma
noção deste conteúdo, eu sugiro que você dê uma olhada nos
vídeos de álgebra da Khan Academy. Lá tem muitas aulas a respeito disso. E, claro, eu estou revisando
este conteúdo, porque é algo que utilizamos
bastante no cálculo, principalmente, quando falamos
de regra da cadeia. Então, vamos revisar o que é
uma função composta. Digamos que eu tenha aqui uma
função f(x) = 1 + x, e uma função g(x) = cos x. Qual seria a função f(g(x))? Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver isso sozinho. Ok, vamos lá! Uma maneira de pensar nisso é que agora a entrada de "f"
não é mais "x" e sim g(x). Portanto, onde estiver o "x",
nós vamos colocar a função g(x). Portanto, f(g(x)) = 1 + g(x), sendo que g(x) = cos x. Com isso, no lugar de g(x),
nós podemos colocar cosseno de "x". E uma maneira de entender isso é que eu estou colocando no lugar do "x"
a função "g". Então, o "x" vai para a função "g", o que produz g(x) e que você pega
e coloca dentro da função "f". Ou seja, a saída de g(x) nós
colocamos na função "f". E o resultado disso vai ser f(g(x)). E com isso entendido,
vamos ver se conseguimos expressar alguma função como
a composição de outras duas funções. Vamos dizer, então, que eu
tenha aqui uma função g(x) que é igual ao cosseno de seno de x + 1. E eu quero que vocês saibam que existem diferentes maneiras
de escrever uma mesma função como composição de outras. E, sabendo disso, eu sugiro
que você pause o vídeo e tente escrever esta função como
composição de outras duas. Vamos lá, então! A melhor maneira de identificar
composições de funções é começar olhando para
as funções interiores. E se você perceber, nós temos
esta função seno de "x" aqui, que eu vou chamar de u(x). Porque eu já tenho "f" aqui, não é? Com isso, esta função "g"
é cosseno de u(x) + 1. Basicamente, o que nós temos aqui é uma função que eu vou
chamar de v(x) = cos x + 1. E esta função "g" é a composição entre
esta função v(x) e esta função u(x). Isso quer dizer que no lugar do "x", nós colocamos este seno de "x",
que é a função u(x). E se nós escrevermos isso aqui,
nós vamos ter v(u(x)). Ou seja, a função "v" composta
da função u(x) e que é igual a cos x + 1. Sendo que o "x", neste caso,
vai ser a função u(x) = sen x. Deixe-me escrever isto aqui. u(x) = sen x. Portanto, no lugar deste "x",
eu coloco sen x. Ou seja, é exatamente o que tínhamos aqui. Então, esta função "g" é uma composição
da função v(x) e da função u(x). Você pode reescrever esta função "g", até mesmo como uma composição
de três funções. Por exemplo, vamos dizer que a função
w(x) seja igual a x + 1. E se quisermos descobrir w(u(x)), isso vai ser igual a x + 1. Então, mais 1 e u(x) aqui. E quem vai entrar no lugar do "x"?
A função u(x). E quem é u(x)?
É seno de "x". Portanto, w(u(x)) = sen x + 1. Mas eu ainda posso colocar uma função
h(x) aqui que é igual ao cosseno de "x". E, com isso, eu posso escrever g(x) como
uma composição entre estas três funções. Ou seja, g(x) vai ser a mesma
coisa que h(w(u(x))), que pegar a função w(u(x)) e substituir aqui no lugar deste "x". Então, vamos ter cos w(u(x)). E quem é w(u(x))? É sen x + 1. Portanto, eu posso colocar aqui dentro,
sen x + 1. Ou seja, nós reescrevemos g(x)
como a composição destas três funções. Então, este h(w(u(x))) = g(x). E o ponto principal desta aula, é a importância
de reconhecer funções compostas. Ou seja, você pode reescrever uma
mesma função de diferentes maneiras. E é importante, também, saber que
nem tudo é composição de funções. Por exemplo, deixe-me descer aqui e colocar uma função
f(x) = cos x vezes sen x. Este é o caso que é muito
difícil expressar a função como composição de funções. É mais fácil representá-la como
produto de duas funções. Por exemplo, eu posso chamar este cos x
de uma função u(x). E o seno de "x" de v(x). E, com isso, reescrever f(x)
como u(x) vezes v(x). Ou seja, um produto de duas funções. O que podemos fazer é uma
composição entre estas duas funções. Por exemplo, nós podemos escrever
"u" composta de v(x). E qual é a função u(x)? É cos x. Então, vamos ficar com cosseno
de alguma coisa, que, neste caso, é a função v(x),
que é seno de "x". Então, cos (sen(x)). Ou seja, nós escrevemos uma composição
entre estas duas funções que, neste caso,
foi "u" composta de "v". Mas se você quisesse, você também
poderia escrever o contrário. Ou seja, "v" composta de "u". Mas, de qualquer jeito, você não consegue
escrever essa função "f" como uma função composta
entre u(x) e v(x). Portanto, é importante você
aprender a reconhecer quando tem uma função composta, ou quando tem um produto de funções. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!