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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3

Lição 2: A regra da cadeia: mais prática

Demonstração da regra da cadeia

Prova da regra da cadeia para derivadas.

A regra da cadeia nos diz como calcular a derivada de uma função composta:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis

O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessa regra, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Primeiro, gostaríamos de provar duas afirmações menores que usaremos na nossa prova da regra da cadeia.

(Afirmações usadas dentro de uma prova são frequentemente chamadas de lemas.)

1. Se uma função é diferenciável, então ela também é contínua.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Proof: Differentiability implies continuityVer transcrição do vídeo

2. Se uma função u é contínua em x, então delta, u, \to, 0 assim como delta, x, \to, 0.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Ver transcrição do vídeo

Agora estamos prontos para provar a regra da cadeia!

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Chain rule proofVer transcrição do vídeo

Bônus: podemos usar a regra da cadeia e a regra do produto para provar a regra do quociente.

A regra do quociente nos diz como calcular a derivada de um quociente:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} \\\\\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \end{aligned}

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Quotient rule from product & chain rulesVer transcrição do vídeo

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Priscyla de Souza Guadagnoli
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Nossa, gostei muito da de...” de Priscyla de Souza Guadagnoli
Nossa, gostei muito da demonstração da regra da cadeia, simples e claro. Muito obrigada! Por favor, se puderem, façam mais plataformas de exercícios, como no Calculo 1, para o cálculo de integração de multi variáveis! Por favor! Vai ajudar tantas pessoas...
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Primeiro, gostaríamos de provar duas afirmações menores que usaremos na nossa prova da regra da cadeia.

1. Se uma função é diferenciável, então ela também é contínua.

2. Se uma função uuuu é contínua em xxxx, então Δu→0\Delta u\to 0Δu→0delta, u, \to, 0 assim como Δx→0\Delta x\to 0Δx→0delta, x, \to, 0.

Agora estamos prontos para provar a regra da cadeia!

Bônus: podemos usar a regra da cadeia e a regra do produto para provar a regra do quociente.

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2. Se uma função u é contínua em x, então delta, u, \to, 0 assim como delta, x, \to, 0.