Prova da regra da cadeia para derivadas.
A regra da cadeia nos diz como calcular a derivada de uma função composta:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right]=f'\Bigl(g(x)\Bigr)g'(x)
O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessa regra, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Primeiro, gostaríamos de provar duas afirmações menores que usaremos na nossa prova da regra da cadeia.

(Afirmações usadas dentro de uma prova são frequentemente chamadas de lemas.)

1. Se uma função é diferenciável, então ela também é contínua.

2. Se uma função uu é contínua em xx, então Δu0\Delta u\to 0 assim como Δx0\Delta x\to 0.

Agora estamos prontos para provar a regra da cadeia!

Bônus: podemos usar a regra da cadeia e a regra do produto para provar a regra do quociente.

A regra do quociente nos diz como calcular a derivada de um quociente:
ddx[f(x)g(x)]=ddx[f(x)]g(x)f(x)ddx[g(x)][g(x)]2=f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]2\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} \\\\\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \end{aligned}
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